Catégorie : Mathématiques
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paradoxe des anniversaires
Le paradoxe des anniversaires 1. On considère quatre personnes. On cherche la probabilité pour qu’au moins deux personnes des quatre personnes soient nées le même jour (nous parlons d’une année non bissextile). A : « Au moins deux personnes sont nées le même jour » Ā : « Toutes les personnes ne sont pas nées le même jour » P(A) = 1− P( A ) = 365 364 363 362 = 0,01635… 3654 2. On considère trente personnes. On cherche la probabilité pour qu’au moins deux personnes des trente...
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Comment les mathématiciens de différentes époques ont abordé la notion d’infini ?
Comment les mathématiciens de différentes époques ont abordé la notion d’infini ? Jusqu’à où peut-on compter ? Jusqu’à où s’étend l’Univers ? Ces questions nous renvoient vers une même notion : l’infini. Si en physique on ne retrouve aucun équivalent de ce concept c’est parce que selon l’astrophysicien Christian Magnan : « Toute théorie physique implique des nombres, en tant que tels forcément répartis sur un intervalle fini ». Néanmoins, en mathématique ce concept est devenu essentiel. Au...
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Exercices sur les racines dans les complexes
Exercice 3 Groupe B Soit P un polynôme de degré n dont tout les coefficients sont des nombres entiers Exercice 3 – Groupe B Question 1 Démontrer que toute racine entière de P est un diviseur de P(0) K est une racine entière de P(z) donc P(k) = 0. Donc : P(z)=(z-k)*Q(z), où Q(z) est un autre polynôme de degré (n-1) avec des coefficients réels. P(0)=(0 -k)*Q(z) P(0)= -K*Q(z) P(0 --------) = Q(0) Comme les coefficients de Q(0) sont entiers : Q(0)∈ℤ -K Donc, toutes racines...
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la persistance muliplicative
Oral persistance Bonjour je vais presenter la persistance muliplicative diapo Nous verrons tout d'abord les definitions , le principe, les exceptions ensuite l'effet de décroissance après les algorithme pour continuer avec la formuler utiliser pour finir avec la conjecture diapo Les defintions, la persistance d'un nombre est le nombres d'étapes à faire pour atteindre un point fixe en faisant une serie d'operation a un nombre tandis que la persistance multiplicative quant a elle est le f...
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grand oral: Comment calculer les annuités d’un prêt ?
Comment calculer les annuités d’un prêt ? Comment les suites permettent-elles de calculer les annuités d’un prêt ? Contexte : Emprunts, crédits ou prêt immobiliers font partie de la vie quotidienne de nombreux Français. Ainsi, lorsqu'une personne, contacte sa banque ou un autre organisme afin de contracter un prêt, il reçoit en retour un tableau lui indiquant le montant emprunté, le taux, ainsi que les annuités (montants annuels) ou les mensualités (montants mensuels) qu'il lui faudra r...
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Variations et somme Suites 1ère spé
Les suites arithmétiques n°2 – Correction. On sait que est une suite arithmétique de raison 𝑟 et de premier terme 𝑈 . On sait que Pour tout , 𝑈𝑛+1 = 𝑈𝑛 + 𝑟, donc 𝑈𝑛+1 − 𝑈𝑛 = 𝑟. Donc si 𝑟 > 0 alors 𝑈𝑛+1 − 𝑈𝑛 > 0 donc 𝑈𝑛+1 > 𝑈𝑛 donc la suite est croissante. si 𝑟 = 0 alors 𝑈𝑛+1 − 𝑈𝑛 = 0 donc 𝑈𝑛+1 = 𝑈𝑛 donc la suite est constante. si 𝑟 alors 𝑈𝑛 donc 𝑈𝑛 𝑈𝑛 donc la suite est décroissante. Exercices page 35 n° 65 On sait que ce sont des suites arithmétiques. Il faut donc c...
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Rappel sur Proportion et pourcentage Première Spé maths et spécifique
Rappel sur Proportion et pourcentage Première Spé maths et spécifique Règle à retenir : On a un nombre de départ noté D, un pourcentage noté t et le résultat noté R 𝑡 Prendre t % d’un nombre D pour obtenir R c’est 10 multiplieravec D donc 0 𝑡 𝑡 × 𝐷 𝐷 = 𝑡 = ×𝐷= 100 10 × 𝑅 100 0 Partie 1 : Prendre un pourcentage connaissant le départ D et le taux t. Exemple : On veut prendre t = 30 % de D = 480 euros. 𝑅 30 × 480 = 100 30 10 × 48 = 3 × 48 = 1...
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Grand oral maths Le paradoxe de Monty Hall
Le paradoxe de Monty Hall I – Introduction Le paradoxe de Monty Hall est un problème classique de probabilités inspiré du jeu télévisé américain « Let’s make a deal ». Monty Hall donne son nom à ce paradoxe car il a présenté cette émission pendant 13 ans. J’ai choisi de vous présenter le paradoxe de Monty Hall aujourd’hui pour vous montrer l’importance des probabilités dans notre quotidien mais surtout dans des situations où l’on pourrait croire qu’elle ne serve à rien. Problématique : C...
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limites et continuité cours + exercices
1 Limites et continuité A) Limites de fonctions. 1. Limite l’infini. Définition : Limite finie à l’infini Dire qu’une fonction 𝑓 a pour limite ℓ en +∞, signifie que tout intervalle ouvert contenant ℓ, contient toutes les valeurs de 𝑓(𝑥) pour 𝑥 assez grand c’est à dire pour les 𝑥 d’un intervalle ]𝐴 ; +∞[. On note alors : lim 𝑓(𝑥) = ℓ. 𝑥→+∞ La droite ∆ d’équation 𝑦 = ℓ est dite asymptote horizontale à 𝐶𝑓 en +∞. Remarque : On définit de façon analogue lim 𝑓(𝑥) = ℓ et la droite ∆ d’é...
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Entraînement brevet mathématiques
N°61 p 46 : Calculs et codes secrets. 1) (− 5 + 3)× 2 − (− 17) a. &+×,×# #×'×,×- = (− 2)× 2 + 17 = =3 =1 2# × 5 − (10 − 12)² × 15 d. # × %&'( × )* b. '× - × , × # ',- × )*0 e. # × )*1 ')*0 = 16 × 5 − (− 2)² × 15 = = 80 − 4 × 15 = = 80 − 60 = = 20 =8 × #* # )*1 × 10 , #* , 2) On peut écrire MATH. N°76 p 49 : Différentes écritures d'un nombre. On donne A = 2 × 10- + 10) + 10&) + 2 × 10&-. 1) La décompos...
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cours sur les intégrales
Calcul intégral I. Intégrale d’une fonction continue et positive sur un intervalle 𝑓 est une fonction continue et positive sur un intervalle [𝑎; 𝑏] 𝒞 est sa courbe représentative dans un repère orthogonal (𝑂; 𝐼; 𝐽) 1) unité d’aire définition : Dans un repère orthogonal (𝑂; 𝐼, 𝐽), l’unité d’aire (notée u.a) est l’aire du rectangle OIKJ où K est le point de coordonnées (1; 1) 2) notion d’intégrale définition : On appelle intégrale de 𝒇 sur [𝒂; 𝒃] l’aire, exprimée en u.a, de la sur...
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Cours sur les primitives et les équations différentielles Tle
Equations différentielles, Primitives Le projet de cette partie est d'apprendre à utiliser le cheminement réciproque de la dérivation. Les applications sont nombreuses en sciences, qui regorgent de relations entres des grandeurs et leurs dérivées, ce qui amène à résoudre des équations appelées équations différentielles. I. Notion d'équation différentielle Lorsque l'on connaît l'expression algébrique d'une fonction, il est en général facile de déterminer si elle est dérivable, et d'expr...
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Corrigé geipei polytechnique REPONSES A L’EXERCICE I de Mathématiques Spécialité
REPONSES A L’EXERCICE I de Mathématiques Spécialité I-2- 𝟏 𝟓 I-1- 𝑎1 = . I-3- 𝑃(𝐴𝑛+1 ⋂ 𝐴𝑛 ) = 𝟑 𝒂 . 𝟏𝟎 𝒏 𝑃(𝐴𝑛+1 ⋂ ̅̅̅̅ 𝐴𝑛 ) = 𝟏 (𝟏 − 𝟏𝟎 I-4- 𝑎𝑛+1 = 1 𝑎 5 𝑛 1 10 + 𝟑 𝟏𝟎 𝟕 𝟏𝟎 𝒂𝒏 ). . En effet : 𝒂𝒏+𝟏 = 𝑷(𝑨𝒏+𝟏 ) = 𝑷(𝑨𝒏+𝟏 ∩ 𝑨𝒏 ) + 𝑷(𝑨𝒏+𝟏 ∩ ̅̅̅̅ 𝑨𝒏 ) = 3 𝒂 10 𝒏 + 𝟏 (𝟏 − 𝟏𝟎 𝒂𝒏 ) = 𝟏 𝒂 𝟓 𝒏 + 𝟏 − 𝒂𝒏 𝟏 𝟏𝟎 𝟏 . 𝟏𝟎 𝟗 𝟏𝟎 𝟏 𝟏 −𝟖 𝟓 𝟑 I-5-a- 𝑢1 = = 𝟒𝟎. I-5-b- La suite (𝑢𝑛 )𝑛≥1 est une s...
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Bilan enseignement scientifique: Mathématiques – QCM (40 points) Correction
Mathématiques – QCM (40 points) Correction Première partie – Fonctions Exercice I Soit 𝑓 la fonction définie par 𝑓(𝑥) = ln(𝑥 2 + 1). I-ALa fonction 𝑓 est définie sur ℝ. Vrai. La quantité 𝒙𝟐 + 𝟏 est strictement positive pour tout nombre réel 𝒙. I-B𝑓′(0) est égal à 1. Faux. 𝟐𝒙 Pour tout nombre réel 𝒙, 𝒇′ (𝒙) = 𝒙𝟐+𝟏. Donc 𝒇′ (𝟎) = 𝟎. I-C- I-D- Pour tout 𝑥 strictement négatif, 𝑓(𝑥) est strictement négatif. Faux. Pour 𝒙 = −𝟏, 𝒇(−𝟏) = 𝐥𝐧𝟐 et 𝐥𝐧𝟐 > 𝟎 car 𝟐 > 𝟏. lim 𝑓(𝑥) = +∞. 𝑥 →−...
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Présentatioin oral sur les nombres e, pi et phi
INTRO 1 - le nombre e et ses applications Le nombre "e", aussi appelé nombre d’Euler du nom du mathématicien qui a utilisé cette lettre pour le première fois en 1728 pour désigner la base du logarithme naturel, est une constante mathématique qui est approximativement égale à 2,71828. C’est un nombre irrationnel et transcendant (racine d’aucun polynôme). Comme je l’ai évoqué, e est appelé la base du logarithme naturel, au sens large lorsque l'on prend le logarithme naturel d'un nombre, dis...
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Probabilités conditionelle et variables aleatoires
Probabilités conditionnelles et variables aléatoires Q1 : Rappels : Soit 𝐴 et 𝐵 deux événements d'un même univers Ω 1. 𝑃(∅) = 0 ( ∅ 𝑒𝑠𝑡 𝑙′é𝑣é𝑛𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑖𝑚𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒) 𝑃(𝛺) = 1 (𝛺 𝑒𝑠𝑡 𝑙′é𝑣é𝑛𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑐𝑒𝑟𝑡𝑎𝑖𝑛) 2. 𝑆𝑖 𝐴 ≠ ∅ 𝑒𝑡 𝐴 ≠ 𝛺 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 0 < 𝑃(𝐴) < 1 3. 𝑆𝑖 𝐴 ⊂ 𝐵 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑃(𝐴) ≤ 𝑃(𝐵) 4. 𝑆𝑖 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) 5. 𝑃( 𝐴̅ ) = 1 − 𝑃(𝐴) 6. 𝑆𝑖 𝐴 ∩ 𝐵 ≠ ∅ 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 7. Dans une situation d’équiprobabilité on a : | 𝐴 | 𝑐𝑎𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑠 𝑐𝑎𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑃(𝐴) = = |𝛺| 𝑐𝑎...
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Chapitre de Terminale spécialité – Continuité et convexité d’une fonction – Programme 2020
Chapitre de Terminale spécialité – Continuité et convexité d’une fonction – Programme 2020 I. Continuité 1. Continuité d’une fonction Définition Soit 𝑓 une fonction définie sur un intervalle 𝐼. Soit 𝑎∈𝐼 . On dit que 𝑓 est continue en 𝑎 lorsque lim 𝑓 (𝑥 ) = 𝑓(𝑎) , autrement dit lorsque 𝑥→𝑎 lim 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥→𝑎 lim 𝑓 (𝑥 ) = 𝑓(𝑎). 𝑥→𝑎 𝑥𝑎 La fonction 𝑓 est continue sur 𝐼 si, pour tout réel 𝑎 appartenant à 𝐼, 𝑓 est continue en 𝑎. Graphiquement, une fonction est continue sur un inte...
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sujet grand oral maths: Le loto peut-il vraiment être rentable ?
Sujets grand oral MATHS : Le loto peut-il vraiment être rentable ? Plan : I- Histoire et fonctionnement du loto II- Probabilité de gagner III- Le gain moyen d’un joueur et rentabilité de la FDJ Intro : Aujourd’hui, on trouve des loteries dans tous les pays occidentaux, avec des modèles relativement similaires. En France, la loterie à laquelle on peut penser en premier est le loto, celui-ci existe depuis 1975 et a un gain maximal assez élevé. Ayant de la famille qui joue très régulière...
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EXPOSE SUR LES CONIQUES
EXPOSE SUR LES CONIQUES I. ÉTUDE GENERALE DES CONIQUES 1) DEFINITIONS ET PROPRIETES 1.1 Définition générale des coniques Les coniques forment une famille de courbes planes résultant de l’intersection d’un plan et d’un cône de révolution. Selon les positions relatives d'un plan et d'un cône, on obtient différents types de coniques Si l'angle d'inclinaison du plan avec l'axe du cône est : Supérieur à l’angle l'intersection du cône, c’est une ellipse ; Inférieur à l'angle d'...
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Correction devoir surveillé n° 5 en Spémath3 : Géométrie repérée
Correction devoir surveillé n° 5 en Spémath3 : Géométrie repérée Exercice 1 : (8 pts) On considère les points 𝐴(2 ; −1) , 𝐵(4 ; 3) et 𝐶(0 ; 2). 1) Déterminer l’équation de la droite (d1) hauteur issue de A dans le triangle ABC. ⃗⃗⃗⃗⃗ vecteur normal à (𝑑1 ) 𝐵𝐶 𝑥−2 0−4 −4 𝑀(𝑥 ; 𝑦) ∈ (𝑑1 ) ⟺ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝑀 ( ) et ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐶 ( ) = ( ) orthogonaux 𝑦+1 2−3 −1 ⟺ −4(𝑥 − 2) − (𝑦 + 1) = 0 donc (𝒅𝟏 ) ∶ −𝟒𝒙 − 𝒚 + 𝟕 = 𝟎 2) Déterminer l’équation de la droite (d2) hauteur issue de B dans le triangle...