Grand oral (Maths) : Quelles sont les grandes étapes historiques de l'élaboration du raisonnement par récurrence ?

« Grand oral (Maths) : Quelles sont les grandes étapes historiques de l'élaboration du raisonnement par récurrence ? Les mathématiques sont une science principalement basée sur l'élaboration de raisonnements dans le but d'arriver à une certaine conclusion.

Ces raisonnements peuvent prendre différentes formes.

Il peuvent être inductifs (= partir d'observations particulières pour aboutir à une conclusion de portée générale), déductifs (= partir d'une idée générale pour en déduire des propositions particulières) ou même par analogie (= procéder à une comparaison avant d'aboutir à une conclusion).

Nous nous intéresserons aujourd'hui à un autre type de raisonnement, le raisonnement par récurrence.

J'ai choisi de vous présenter ce raisonnement en particulier car je trouve son étude intéressante et applicable à de nombreuses échelles.

Ainsi, il est possible de se demander quelles sont les grandes étapes historiques de l'élaboration du raisonnement par récurrence.

Il s'agira d'abord de comprendre le fonctionnement de ce type de raisonnement pour ensuite en dégager les grandes étapes historiques. -I- Qu'est-ce que le raisonnement par récurrence ? Le raisonnement par récurrence est un raisonnement dont le but est de démontrer qu'une proposition est vraie pour tout entier naturel n.

C'est également l'une des méthodes de démonstration les plus répandues en mathématiques.

L'ensemble des entiers naturels est noté N et contient l'ensemble des entiers positifs (1,2,3,...).

Étant donné que ce raisonnement utilise exclusivement l'ensemble N, son application n'est possible que dans le cas où des suites numériques sont mises en jeu (suites arithmétiques ou géométriques). Ainsi, il permet de démontrer des égalités ou des inégalités sur des entiers naturels ou des suites. Le raisonnement par récurrence est basé sur trois grandes étapes de réalisation.

On commence d'abord par l'initialisation.

Dans cette étape, on veut démontrer que la propriété P(n) est vraie au premier rang, c'est-à-dire pour n=0 ou pour n=1.

Ensuite, on continue avec l'hérédité.

Ici, on souhaite démontrer que si la propriété est vraie au premier rang de la suite, elle le sera au rang suivant.

C'est-à-dire que si elle est vraie pour n=0, elle le sera pour n=1; et si elle l'est pour n=1, elle le sera pour n=2.

L'hypothèse de récurrence émise à partir des éléments trouvés juste avant sera la base du raisonnement.

Enfin, pour finaliser la démonstration, on procède à une conclusion.

Cette dernière étape permet de faire un bilan en montrant que la proposition est vraie au rang initial et qu'elle est héréditaire, donc qu'elle est vraie pour tout entier naturel n appartenant à l'ensemble N. -II- L'histoire du raisonnement par récurrence Bien que Blaise Pascal et Pierre de Fermat soient considérés comme les fondateurs du raisonnement par récurrence, il ne faut pas oublier que de nombreux précurseurs avant eux ont utilisé des techniques pouvant se rapporter à une forme de raisonnement par récurrence. Ainsi, en -300, Euclide, dans la proposition 20 du livre IX des " Éléments", a démontré l'existence d'une quantité arbitrairement grande de nombres premiers (= nombre dont ses seuls diviseurs sont 1 et lui-même : 2,3,5,7,11,13,...).

Pour Euclide, si l'on dispose d'une collection de nombres premiers A,B et C, on peut toujours trouver un nombre premier qui n'y 1.... »