Comment les mathématiques permettent-elles de modéliser les jeux de hasard comme le poker ?

« Onglet 1 Comment les mathématiques permettent-elles de modéliser les jeux de hasard comme le poker ? Introduction: Bonjour.

Je vais vous parler aujourd'hui des mathématiques et du poker. Mais tout d'abord c’est quoi le poker ? C’est un jeu ou l’on doit former la meilleure combinaisons possible : paire, brelan, quinte, couleur...

L'objectif est de remporter les mises en ayant la meilleure main, ou en faisant semblant .À première vue, ces deux univers semblent opposés.

D'un côté, les mathématiques : précises, logiques. De l'autre, le poker : bluff, psychologie.Pourtant, après plusieurs parties entre amis j'ai découvert que les maths et plus particulièrement les probas jouent un rôle fondamental dans la stratégie.

Je me suis demandé alors comment les probabilités influencent-elles notre jeu ? Nous verrons d'abord les bases mathématiques, puis leur application stratégique, avant d'examiner les limites de cette modélisation. Partie 1 A)Grand nombre de combinaison: - Dans un premier temps , commençons par une question simple : combien y a-t-il de mains différentes au poker avec un jeu de 52 cartes?Chaque joueur reçoit deux cartes privées puis 5 cartes communes sont révélées au centre.

A la fin chaque joueur doit former une combinaison de 5 cartes parmi les 7 à sa disposition .C’est un problème classique de dénombrement.On utilise la formule des combinaisons:C(5!x 47!)(C de 5 factorielle fois 47 factorielle), ce qui nous donne 2 598 960 .Imaginer presque 2,6 millions de combinaison , c’est cette immensité qui rend le poker si complexe à analyser. B) -Ensuite prenons un exemple concret pour comprendre cette complexité, vous recevez la meilleure main de départ une pairs d’AS vous avez de la chance mais pourquoi ?Pour la calculer, on procède étape par étape :Il y a 4 As dans le jeu, on en choisir 2 : ça fait 6 façons différentes(C(4 !,2!)) sachant que avoir une pairs en main de départ est de C(52,2) (1326).

Finalement, le calcul donne environ 0,45% de chances d’avoir une pairs d’AS.

C'est pour ça que c'est si précieux.Cette rareté explique pourquoi les joueurs misent gros avec cette main.

Plus une main est rare, plus elle a de la valeur, et plus elle rapporte en moyenne. C) -De plus, ces calculs de probabilités établissent scientifiquement toute la hiérarchie du poker.Le principe est simple, la rareté détermine la force.

Prenons deux exemples extrêmes :Une quinte flush royale (La meilleure combinaison de cartes possibles qui correspond à 10-valet-Dame-Roi de la même couleur ).Il n'en existe que 4 sur nos 2,6 millions de mains possibles, soit 0,000154% de probabilité.

C'est pourquoi c'est la main la plus forte.À l'inverse, une simple paire ? Elle apparaît dans plus d'1 million de cas, soit 42% du temps.

C'est très fréquent, donc relativement faible. Transition: Ainsi, nous avons vu les fondements des probabilités avec le dénombrement au poker.

Mais un joueur professionnel ne se contente pas de connaître ces probabilités, il les utilise pour optimiser ses décisions et calculer ses gains possibles. Partie 2 D’abord plaçons-nous en situation réelle autour d’une table de poker, on reçoit 2 cartes privées, et 3 cartes communes viennent d'être révélées.

C'est ce qu'on appelle le "flop".7 et 8 de cœur sont dans notre main, et le flop révèle le 5 et le 10 de cœur.

On a donc 4 cartes de cœur sur 5 nécessaires pour faire une couleur.La question cruciale quelles sont les chances de compléter cette combinaison ?Il existe 13 cœurs dans un jeu complet.

on en connaît déjà 4, donc il en reste 9.

Au total, il reste 47 cartes inconnues soit 9 chances de gagner sur 47 à peu près 19%.

Donc statistiquement, on a 19 % de chance de réussir la couleur à la prochaine carte.

Ce n'est pas énorme, mais ce n'est pas négligeable non plus ! Maintenant, la vraie question : est-ce que ça vaut le coup de continuer à jouer ? C’est typiquement le rôle d’une épreuve de bernoulli,une expérience aléatoire répété X fois identiques et indépendantes car les probabilités ne change pas entre les parties de poker il n’ y a toujours que deux issues possible gagner p ou perdre 1-p vos gains.Elle permet de calculer l'espérance et la variance d’un événement L'espérance mathématique, correspond à la moyenne de tous les gains possibles, en tenant compte de leur probabilité qui va nous aider.Une espérance positive signifie un gain moyen à long terme.

Une espérance négative signifie une perte moyenne.La formule est simple mais puissante : E(X) = Σ(probabilité × gain) ou bien n le nombre d’épreuve multiplier par la probabilité de succès.Reprenons notre.... »