Grand Oral : Les mathématiques et le mode couleur RVB

« Grand Oral : Les mathématiques et le mode couleur RVB Introduction Aujourd'hui, je vais vous parler d'un sujet que nous utilisons tous au quotidien sans vraiment y penser : la couleur numérique.

Elle est partout : dans nos écrans, nos téléphones, nos jeux vidéo, nos logiciels.

Mais une question essentielle m'est venue : comment un ordinateur peut-il représenter une couleur ? Pour y répondre, je me suis intéressé à un modèle très répandu : le mode RVB, pour Rouge, Vert et Bleu.

C'est un outil mathématique très puissant, qui permet à nos écrans d'afficher plus de 16 millions de couleurs.

Et ce modèle repose sur des concepts mathématiques que j'ai étudiés en spécialité maths et en NSI cette année.

Ce sujet est passionnant, car il montre que même des objets visuels et artistiques, comme la couleur, peuvent être modélisés avec une grande rigueur scientifique. Voici la question qui guidera mon exposé : En quoi les mathématiques permettent-elles de représenter des caractéristiques du mode couleur RVB ? Je vais y répondre en trois parties : 1.

Comment une image RVB est représentée par des structures mathématiques et informatiques 2.

Comment la combinatoire et la base 16 permettent d'encoder efficacement les couleurs 3.

Comment la géométrie dans l'espace permet de visualiser les couleurs et de les manipuler Partie 1 : Structures mathématiques et informatiques du mode RVB En NSI, on apprend que chaque image est composée de pixels.

En mode RVB, chaque pixel est un triplet de trois entiers entre 0 et 255 : un pour le rouge, un pour le vert, un pour le bleu. Mathématiquement, c'est un 3-uplet, ou encore un vecteur à trois dimensions.

Cette structure permet de traiter chaque couleur comme un point dans un espace à trois axes. Exemples : • (255, 0, 0) = rouge pur • (0, 255, 0) = vert pur • (255, 255, 255) = blanc En informatique, ces pixels sont stockés dans un tableau à deux dimensions, comme une matrice en mathématiques.

Pour une image Full HD (1920x1080), cela représente plus de 2 millions de vecteurs de la forme (R, V, B). On peut appliquer des transformations sur ces vecteurs : • Éclaircir une couleur : (r, g, b) → (min(r+10, 255), min(g+10, 255), min(b+10, 255)) • Normalisation : division par 255 pour ramener les valeurs dans [0, 1] • Inversion des couleurs : (255 - R, 255 - G, 255 - B) Ces opérations sont mathématiquement simples mais puissantes : elles transforment une image, pixel par pixel.

En Python, avec la bibliothèque Pillow, on manipule ces pixels grâce à des fonctions comme getdata() ou getpixel((x, y)). Voici un exemple d’algorithme simple en Python : inverser les couleurs d’une image (transformer chaque pixel (R, V, B) en (255 - R, 255 - V, 255 - B)) : from PIL import Image def inversion_couleurs(image_path): img = Image.open(image_path).convert('RGB') pixels = img.load() for x in range(img.width): for y in range(img.height): R, V, B = pixels[x, y] pixels[x, y] = (255 - R, 255 - V, 255 - B) return img # Exemple d’utilisation img_resultat = inversion_couleurs('image.jpg') img_resultat.show() On applique ici un algorithme déterministe : on parcourt tous les pixels et on applique une transformation mathématique. Partie 2 : Codage hexadécimal et combinatoire Les triplets RVB peuvent aussi être codés en base 16.

Pourquoi ? Parce qu'un octet représente 256 valeurs, et 16 × 16 = 256.

Ainsi, deux chiffres hexadécimaux suffisent pour coder une composante RVB. Exemple : • 255 → FF • 0 → 00 • (255, 87, 51) → #FF5733 Ce codage est très utilisé en HTML et CSS : Cela repose sur la combinatoire : 256 possibilités pour R, G et B → 256³ = 16 777 216 couleurs. Autre exemple : combien de couleurs sans composante verte ? → 256 (R) × 1 (G = 0) × 256 (B) = 65 536 couleurs. On entre ici dans les mathématiques discrètes, qui traitent des ensembles finis, des systèmes de codage et de numération.

Ces mathématiques sont fondamentales en informatique, notamment pour la compression d’images, comme dans le format JPEG, qui utilise la transformée en cosinus discrète (DCT) pour séparer les basses et hautes fréquences visuelles. Partie 3 : Géométrie dans l’espace et visualisation des couleurs Le cube RVB peut être vu comme un objet mathématique inscrit dans ℝ³, dont chaque dimension représente une composante de la couleur : Rouge (R), Vert (V), et Bleu (B).

Chaque couleur est donc un point de coordonnées (R, V, B), avec R, V et B compris entre 0 et 255.

Le cube RVB est donc défini par : (R, V, B) ∈ [0, 255]³ Représentations mathématiques dans le cube Exemple : représentation paramétrique de la droite des tons de gris Dans ℝ³, une droite peut être définie par un point d'attache A(xₐ, yₐ, zₐ) et un vecteur directeur u = (a, b, c).

Sa représentation paramétrique est alors : x = xₐ + k·a ; y = yₐ + k·b ; z = zₐ + k·c.... »