grand oral maths Peut-on modéliser une évolution de population par une équation différentielle ?

« Introduction Bonjour, aujourd’hui je vais traiter la question suivante : Peut-on modéliser une évolution de population par une équation différentielle ? Autrement dit, est-ce que les mathématiques, et en particulier les équations différentielles, peuvent nous aider à prévoir comment une population évolue dans le temps ? Cette question peut sembler abstraite, mais elle a des applications très concrètes.

Par exemple, on peut utiliser ce type de modèle pour prévoir la croissance d’une espèce animale, comme celle des lapins, ou encore pour étudier la propagation d’une maladie, comme la grippe ou la Covid-19. Mais avant de rentrer dans les modèles eux-mêmes, qu’est-ce qu’une équation différentielle ? C’est une équation qui ne donne pas directement une valeur, mais qui décrit comment cette valeur évolue au cours du temps. Par exemple, au lieu de dire “il y a 1 000 habitants dans une ville”, elle dira “la population augmente de 20 habitants par mois”. Elle s’intéresse donc à la vitesse de variation d’une quantité, ce qui est particulièrement utile quand on étudie une évolution, comme celle d’une population. I.

Le modèle de Malthus – Une première modélisation simple Contexte historique Le premier à proposer un modèle mathématique de croissance de population est Thomas Malthus, un économiste britannique de la fin du 18ᵉ siècle. Il observe que les populations humaines ont tendance à croître rapidement, tant qu’on ne les freine pas. Il part donc d’une idée simple : si rien ne limite la croissance d’une population, alors celle-ci grandit en continu, et de plus en plus vite. L’équation différentielle Il propose l’équation suivante : y’ = a × y où : • y est la population à un instant donné, • y’ est la dérivée de y, c’est-à-dire la vitesse à laquelle y évolue, • a est le taux de croissance. Cette équation signifie que la population croît proportionnellement à sa taille actuelle.

Plus la population est grande, plus elle croît vite. C’est comme une boule de neige qui dévale une pente : plus elle est grosse, plus elle grossit rapidement.

On appelle cela une croissance exponentielle. La solution En résolvant cette équation, on obtient : y(t) = C × e^(at) où C est la population initiale. C’est une fonction exponentielle, qui augmente sans jamais s’arrêter.

Sur un graphique, la courbe monte de plus en plus vite, presque à la verticale au bout d’un moment. Intérêt Ce modèle est très simple, ce qui le rend facile à utiliser. Il peut décrire certaines situations réelles, comme : • la croissance de bactéries dans un laboratoire, • ou les débuts d’une épidémie, lorsque rien ne freine encore la propagation. Il est souvent utilisé comme point de départ, une première approximation. Limites Mais ce modèle est trop idéaliste.

Il suppose que : • les ressources sont illimitées, • qu’il n’y a ni maladies, ni prédateurs, ni concurrence. Or, dans la réalité, toute population finit par rencontrer des limites : manque de nourriture, de place, pollution, etc. Par exemple, une colonie de bactéries va se multiplier très vite… jusqu’à ce que son milieu devienne trop pauvre pour continuer. C’est pourquoi le modèle de Malthus a été amélioré par d’autres chercheurs. II.

Le modèle logistique ou modèle de Verhulst – Un modèle plus réaliste Une amélioration du modèle de Malthus Au 19ᵉ siècle, le mathématicien belge Pierre-François Verhulst propose une amélioration du modèle de Malthus. Il introduit la notion de capacité limite, c’est-à-dire le nombre maximal d’individus que l’environnement peut soutenir durablement. C’est ce qu’on appelle la capacité de charge, notée K. L’équation logistique Verhulst propose alors une nouvelle équation : y’ = ay × (1 - y/K) • Si la population est petite, y est proche de 0, donc (1 - y/K) ≈ 1.

On retrouve une croissance exponentielle. • Mais à mesure que y approche de K, le facteur (1 - y/K) devient plus petit, et la croissance ralentit. • Quand y = K, la croissance s’annule (y’ = 0). Cette équation corrige donc les excès du modèle de Malthus. Une image simple pour comprendre Imaginons une île avec de la nourriture.... »