Grand Oral : Comment les suites numériques permettent-elles de prédire l'évolution d'une chaîne YouTube ?

« Grand Oral : Comment les suites numériques permettent-elles de prédire l'évolution d'une chaîne YouTube ? Lien exercice : https://www.meilleurenmaths.com/images/misyl/terminaleS/sujetsBac/2021/asie1-2021-exercice1.pdf Bonjour, je m'appelle L’aigle en prépa et je vais vous présenter aujourd'hui mon sujet de mathématiques ayant pour problématique : « Comment les suites numériques permettentelles de prédire l'évolution d'une chaîne YouTube ? » Première partie : L'écosystème YouTube et les enjeux de la prédiction Lancée en 2005 comme un simple site de partage vidéo, la plateforme YouTube s'est progressivement imposée comme un média majeur qui révolutionne notre façon de consommer du contenu.

En 2025, c'est devenu bien plu qu'un site web : c'est un véritable écosystème qui façonne la culture contemporaine et représente une opportunité professionnelle pour des millions de créateurs. Je fais partie de ces créateurs depuis maintenant trois ans.

Ma chaîne compte actuellement 7000 abonnés, et je me retrouve confronté à une question qui taraude tous les YouTubeurs : comment va évoluer mon audience dans les mois et années à venir ? Cette question n'est pas anodine.

Elle détermine si je pourrai un jour vivre de ma passion ou si je dois la considérer comme un simple hobby. Pour comprendre l'importance de cette question, il faut saisir les mécanismes économiques derrière YouTube.

La monétisation d'une chaîne repose sur plusieurs facteurs : le nombre de vues, le taux d'engagement, mais surtout le nombre d'abonnés.

C'est ce dernier qui représente le capital le plus précieux d'un créateur.

Les abonnés forment une communauté fidèle qui garantit un minimum de vues à chaque nouvelle vidéo.

Ils sont aussi la vitrine qui attire les potentiels partenariats avec les marques. L'évolution d'une chaîne YouTube n'est pas un phénomène aléatoire.

Elle suit des tendances observables et analysables.

Plusieurs dynamiques entrent en jeu : la fidélisation des abonnés existants, l'attraction de nouveaux spectateurs, la recommandation algorithmique, et malheureusement aussi le désabonnement.

Ces dynamiques s'articulent dans un ballet complexe qui détermine la trajectoire d'une chaîne. Dans mon cas personnel, j'ai observé que ma chaîne connaît des phases distinctes.

Au début, la croissance était lente, presque décourageante.

Puis, passé un certain seuil, j'ai remarqué une accélération.

Aujourd'hui, avec mes 7000 abonnés, je me demande : vais-je continuer à croître ? À quel rythme ? Existe-t-il un plafond ? Ce sont des questions cruciales qui influencent mes décisions : dois-je investir dans du meilleur matériel ? Combien de temps consacrer à cette activité ? Faut-il envisager des collaborations coûteuses ? Pour répondre à ces interrogations, les créateurs se tournent souvent vers des outils d'analyse proposés par YouTube Studio.

Ces outils fournissent des données précieuses, mais ils restent descriptifs plutôt que prédictifs.

C'est ici que les mathématiques, et plus précisément les suites numériques, entrent en jeu.

Elles nous offrent un cadre rigoureux pour modéliser et prédire l'avenir d'une chaîne YouTube. Deuxième partie : La modélisation mathématique par les suites numériques Entrons maintenant dans le vif du sujet mathématique.

Comment modéliser l'évolution du nombre d'abonnés d'une chaîne YouTube ? La réponse se trouve dans l'utilisation des suites numériques, un outil mathématique puissant qui permet de décrire des phénomènes évoluant par étapes discrètes. Dans notre cas, imaginons que nous notons u(n) le nombre d'abonnés de ma chaîne au mois n. Actuellement, u(0) = 7000, représentant mon nombre actuel d'abonnés.

L'enjeu est de prédire u(1), u(2), u(3)...

et plus généralement u(n) pour n'importe quelle valeur de n. Pour construire ce modèle, j'ai analysé mes statistiques YouTube des derniers mois et j'ai observé deux phénomènes principaux : 1.

Chaque mois, je conserve environ 98% de mes abonnés existants (certains se désabonnent) 2.

J'attire en moyenne 400 nouveaux abonnés mensuellement Mathématiquement, cela se traduit par une relation de récurrence : u(n+1) = 0,98 × u(n) + 400 Cette équation signifie que le nombre d'abonnés au mois suivant est égal à 98% des abonnés actuels, plus 400 nouveaux arrivants.

C'est ce qu'on appelle une suite définie par récurrence, et plus précisément une suite récurrente linéaire d'ordre 1. Calculons les premiers termes pour vérifier si ce modèle semble cohérent : • • • • u(0) = 7000 (situation actuelle) u(1) = 0,98 × 7000 + 400 = 6860 + 400 = 7260 u(2) = 0,98 × 7260 + 400 = 7114,8 + 400 = 7514,8 u(3) = 0,98 × 7514,8 + 400 = 7764,5 Le modèle prévoit donc qu'après trois mois, ma chaîne comptera environ 7765 abonnés.

Ce qui semble raisonnable compte tenu de ma tendance actuelle. Mais la vraie puissance des mathématiques réside dans leur capacité à nous projeter bien plus loin.

Pour cela, nous devons étudier le comportement de cette suite à long terme.

Une question fondamentale se pose : cette suite va-t-elle croître indéfiniment ou va-t-elle plafonner ? Pour répondre à cette question, examinons la variation entre deux termes consécutifs : u(n+1) u(n) = 0,98 × u(n) + 400 - u(n) = -0,02 × u(n) + 400 Cette différence est positive tant que -0,02 × u(n) + 400 > 0, soit u(n) < 20000.

Autrement dit, ma chaîne continuera à gagner des abonnés tant que je n'aurai pas atteint 20000 abonnés.

Audelà, elle commencerait à en perdre. Cette valeur de 20000 n'est pas anodine.

C'est ce qu'on appelle la limite de la suite, notée L.

On peut la calculer directement par la formule L = b/(1-a) = 400/(1-0,98) = 400/0,02 = 20000. Pour aller plus loin dans l'analyse, on peut transformer notre suite initiale pour en faciliter l'étude.

Posons v(n) = u(n) - L = u(n) - 20000.

On peut alors montrer que v(n+1) = 0,98 × v(n), ce qui fait de v(n) une suite géométrique de raison 0,98.... »