Catégorie : Mathématiques
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Polynômes du second degré
Polynômes du second degré L'essentiel du cours Solutions d'une équation du second degré Pour résoudre une équation du second degré, on transpose tous les termes dans un seul membre pour obtenir une écr itur e de la forme ax' + bx + c = o avec a ,t; o. On calcule alors le disc riminant t,. (delta) : t,. = b2 -4ac. Tro is cas peuvent se produire : -si t,. < o, l'équation n'a pas de solution; -si t,. = o, l'équation a une unique solution...
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La fonction exponentielle : propriétés algébriques (2)
"'La fonction exponentielle · propriétés algébriques L'essentiel du cours Propriétés • Pou r tous les nombres réels x ety, on a : e' x eY = e••Y (rela tion fonction nelle). X • Pour tous les nombres rée ls x et y, on a : .:.._ = e•-y. eY • Pour tout nombre réel x, on a 2. = e-x e' X • Pour tou t nombre réel x, on a: e2 = N . • Pour tout nombre réel x et pour tou t entie r n, on a: (e'f=en x_ -2X+ 3 -2x 3 ( -x )2 3 1 3 e Exemples ( )2...
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Valeur moyenne d'une fonction
'T Valeur moyenne d 'une fonction L'essentiel du cours • La valeur moye nne d'une fonction f sur un intervalle [a; b] est éga le au rée l:µ= -1-J b f(x)dx. b-a o Exemples • Soit la fonction f: x.....,. e" défin ie et continue sur IR. La valeur moyenne de f sur l'intervalle [o; 2] est µ = _1_f2 e2x dx = ~[~e 2•]2 = ~ (e• -eo) = e• -1_ 2-0 0 2 2 0 4 4 • Soit la fonc tio n g : x,.... 3x2 + 2X défin ie et continue sur R La valeur moyenne...
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Les suites géométriques
Les suites géométriques L'essentiel du cours Définition d'une suite géométrique • Une suite est dite géométri que lorsque l'on peut déduire chaque terme du précédent en le multiplia nt par un réel consta nt. Elle est donc géométr ique s'il existe une consta nte q telle que , pour tou t entier naturel n, un., = un" q. La const ante réelle q est appelée la raison de la suite. • Pour démontrer qu'une suite (u.) est géo métri que, on montre que,...
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La fonction logarithme népérien : propriétés graphiques
"' La fonction logarithme nép érien : propriétés graphiques L'essentiel du cours Définition La fonction logarithme népérien, notée ln, est la seule fonction définie sur l'int ervalle ]o ; +oo(, qui à tout réel strictement posit if associe l'unique sol utio n de l'équation d'inconnue y: eY = x. On note cette solut ion y= ln x. Conséquences • Quel que soit le nombre rée l x str ictem ent positif , on a : -pour tout nombre rée l y: eY = x si et...
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Probabilités conditionnelles
Probabilités conditionnelles L'essentiel du cours Définition d'une probab ilité conditionnelle Lecture d'un arbre • On considère une expérience aléatoire et deux événements A et B quelconques de proba - bilités non nulles. L'évé nement A est réalisé puis l'événement B. On peut visualiser la situa tion en utilisant un arbre pondéré. • La probab ilité de l'événement « 8 sachant que l'événement A est réalisé », notée PA(B) peut se calcule...
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Limite d'une suite géométrique
" Limite d'une suite géométrique L'essentiel du cours Rappels sur les suites géométriques • La somme des (n + 1) premiers termes d'une suite géométrique (u) de raison q différente de 1 est égale à : 1- qn. 1 u x--- 0 1- q • Résu ltat intermédiai re pour tout réel q différent de 1, on a : 1 -qn•l 1 + q + ... + q" = ---. 1-q Limite de ·a suite (q) avec q 0 • Premier cas : q est strictement compris entre o et 1 alors lim q" = o....
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Primitives dune fonction sur un intervalle
,.. Primitives d'une fonction sur un intervalle L'essentiel du cours Défin ition • Soitf une fonction continue sur 1. On dit qu'une fonction F est une primitive de la fonct ionfsur ! lorsque Fest dér ivab le sur I et que sa dérivée est égale àf sur cet intervalle. • Lorsqu'une fonction admet une primitive, on peut en trouver une infin ité. En effet, si on ajoute n'impo rte quel nombre réel à la primitive tro uvée, les dérivées d...
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Loi normale
Loi normale N(µ;
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Continuité et théorème des valeurs intermédiaires
"Continuité et théorème des valeurs intermédiaires L'essentiel du cours Fonction continue t 1p·o1 Soit/ une fonction définie sur un intervalle 1. On dit que la fonction/ est continue sur I lorsque sa cou rbe rep résentative se trac e« sans lever le crayon », è Les fonctions de réfé rence (affines, carré, cube, inverse, racine carrée) sont continues sur leur ensemble de défin ition (Vo ir fiche 6], • Les fonct ions constru ites à...
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Les fonctions exponentielles de base q, q>o
,,. Les fonctions exponentielles de base q , q > o L'essentiel du cours Définition Soit q un nombre rée l str ictement positif, on appelle« fonc tion exponentielle de base q » (qui est notée exp q) la fonction qui à tout nombre réel x assoc ie le nombre réel positif q' : X,_. q' = e•lnq. Propriétés algébriques • Quel que soit le nom bre réel x, on a 1' = 1. • Soit q un nombre réel stricteme nt pos itif, on a : -pour tous les nombr...
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Rappels sur les probabilités
Rappels sur les probabilités L'essentiel du cours Définition d'une probabilité • On part d'une expér ience aléatoire E, c'est -à-dire d'une expérience dont on peut prévoir les issues possibles, mais dont on ne conna ît le résultat qu'après sa réalisation. • Première étape : à l'aide d'un arbre, par exemp le, on détermine toutes les issues possibles de l'expérience aléatoi re. On défin it ainsi l'un ivers n comme l'ensemble de toutes les...
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Algorithmique
Algorithmique L'essentiel du cours Qu'est-ce qu'un algorithme? • Un algorithme est une liste d'instructions à suivre pas à pas et qui permettent d'obtenir des résultats à partir de données. • Un algorithme est donc caractérisé par trois blocs: les données, le traitement et les résu ltats. Quelles sont les étapes pour écrire un programme informatique ? Il y a trois étapes principales : -analyser le problème posé, -écr ire un algor i...
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Convexité dune fonction sur un intervalle
~ Convexité d'une fonction sur un intervalle L'essentiel du cours Définition d'une fonction convexe et d'une fonction concove Soit/ une fonct ion dérivab le sur un intervalle 1 : -On dit qu'une fonction est convexe sur! lors que la cou rbe représentat ive de la fonc tion / est entièrement au-dessus de chacune de ses tangentes . ,1-111~•"'~"'~"-· de b fi:inctJOa C'~bt!k tort h:C'C'S l•~-~OW'lflt11tt.,,~ d,sit':Ul llptnlc,. ta•t-t,;p~d.'.ok'._..,c...
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Loi uniforme sur un intervalle [a ; b]
"' roi uniforme sur un intervalle [a; b] L'essentiel du cours Loi continue : cos général Définitio n LE COURS À ÉCOUTER • La fonction/ est une fonction de densité sur l'intervalle [a; b] (a< b) si: -la fonction/ est continue sur [a; b]; -la fonction/ est positive sur [a; b]; -f f (x)dx = 1. • Si la variable aléatoire X suit la loi continue de fonction de densité/, alors pour tout inte rvalle [c; d) c [a; b], on a: P(c
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Les fonctions de référence
Les fonctions de référence L'essentiel du cours Fonctions affines Une fonct ion affine est une fonct ion! défin ie sur R par f(x) = ax + b où a et b sont deux réels donnés. La courbe représentative de cette fonction affine est la droite D d'équat ion y= ax + b. Lorsque b = o, c'est-à -dire quandf est définie par f(x) = ax, f est une fonction linéaire. Fonction carré La fonct ion carrée!: x ...... x2 est définie sur l'interva lle ]-oo;...
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La fonction logarithme népérien : propriétés algébriques
'1" La fonction logarithme n ép érien : propriétés algébriques L'essentiel du cours Propriétés • Pour tous les nombres réels a et b strictement positifs, on a : ln(ab) = ln(a) + ln(b) (relation fonctionnelle). • Pout tout nombre réel a strictement posit if, on a : 1 ln-=-lna; • aPour tous les nombres réels a et b strictement positifs, on a : 1n( ~) = lna -lnb; • Pour tout nombre rée l a strictement positif, on a : ln✓a = ~lna ; 2 • Pour...
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La loi binomiale
La loi binomiale L'essentiel du cours Défin ition d'une loi binomiale • Une épreuve de Bernoull i est une expér ience aléatoire qui conduit à deux issues: réuss ite ou échec. Si p est la probabilité de réussite, la probabilité d'échec est 1 -p. • Lorsq ue l'on répète une épreuve de Bernoull i on obtient un schéma de Bernoulli. La loi de probabilité de la var iable aléatoire égale au nombre de succès d'un schéma de Bernoulli s'appelle...
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Les suites arithmético-géométriques
~ Les suites aritbmético géométriques L'essentiel du cours Défin tion • On dit qu'une suite (u.) est une suite arithmético· géométrique s'il existe deux rée ls a et b tels que : u0 étant donné, on a: pour tout ent ier n, u •• , =au.+ b. • On peut donc calcu ler chaque terme d'une suite arithmético -géométrique en utilisant les coefficients a et b et le terme précédent. Exemple • En 2000 la populat ion d'une ville éta it de 5 200 hab...
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Les suites arithmétiques
Les suites arithmétiques L'essentiel du cours Monotonie d'une suite • Une suite (u.) est croissante lorsque, pour tout entier naturel n, on au •• ,;;,, u •. • De façon analogue, une suite (u.) est décroissante lorsque, pour tout entie r naturel n, on a u.,1 ,;;; u •. • Si un.,= u" pour tout entier naturel n. on dit que la suite (u.) est stationna ire. • Dans tous les cas, on étudie le signe de la différence u •• , -u •. • Si la...