Suites et récurrence

« ale PRÉPARATION AU BAC - MATHÉMATIQUES T S - SUITES - Fiche 1 page 1 Savoir DÉMONTRER PAR RÉCURRENCE Le principe Démontrer quelque chose par récurrence, c'est comme savoir faire du vélo :    Souvenez-vous, la première chose que vous avez appris à faire, ça a été d'enchaîner un demi-tour de pédale après l'autre.

C'est l'itération : action de refaire la même chose. Mais il fallait un adulte pour vous tenir la selle et vous pousser un peu au départ.

Vous avez appris ensuite à démarrer, c'est-à-dire à faire le premier demi-tour de pédale.

C'est l'initialisation. Alors là, on vous a dit : « Ça y est, tu sais faire du vélo ! » .

C'est la conclusion. Ce qu'on attend de vous ● Respecter la structure générale de la démonstration (les trois parties) et tous les détails de rédaction ● Démontrer l'initialisation ● Démontrer l'itération ● Avec de l'entraînement, reconnaître une démonstration par récurrence lorsque ce n'est pas indiqué dans l'énoncé Comment vous devez faire ● Vous pouvez poser P(n) la propriété (égalité, comparaison ou autre) à démontrer, c'est pratique pour rédiger. ● Votre démonstration par récurrence obéit aux trois étapes incontournables : 1) L'initialisation : démontrer que P(0) , la propriété au rang 0, est vraie C'est en général facile, mais attention à ne pas écrire directement ce que vous devez démontrer ! Et parfois, on commence à P(1) ou même à un rang plus grand. 2) L'itération (ou hérédité) : ● ● supposer que, pour un certain entier n quelconque, P(n) , la propriété au rang n , est vraie (c'est l'hypothèse de récurrence), en déduire que P( n + 1 ) , la propriété au rang suivant n + 1 , est vraie. C'est la partie technique la plus délicate… On peut :  Méthode A : partir de l'hypothèse de récurrence « P(n) vraie » et la transformer en « P( n + 1 ) vraie » ,  Méthode B : démontrer que « P( n + 1 ) vraie » en utilisant à un moment donné « P(n) vraie » .  Conseil : écrivez ce à quoi correspond « P( n ) et ce à quoi correspond « P( n + 1 ) vraie » que vous avez le droit d'utiliser, vraie » que vous devez démontrer. 3) La conclusion : conclure que P(n) est vraie pour tout n   (ou tout n  *, ou tout n  4 , etc…). ● Mauvaise nouvelle : parfois, l'énoncé ne précise pas clairement qu'il faut démontrer par récurrence... Si vous repérez l'indication « ...

pour tout entier naturel n , ...

» , vous devez penser à utiliser cette méthode. Mais attention, pas toujours...

Certaines propriétés dépendant d'un entier naturel se démontrent directement, sans raisonnement par récurrence !!! Ce sera d'ailleurs le cas pour une des questions de cette fiche ! Alors, quand doit-on utiliser une démonstration par récurrence ? Lorsque vous " sentez " que la propriété ne peut être vraie à un rang n que si elle l'est au rang précédent, et donc au rang encore précédent, et ainsi de suite...

jusqu'au premier rang, dont tout dépend finalement. Ce que vous aurez à démontrer ● Des comparaisons comme par exemple « un < ...

pour tout n   » (les plus fréquentes au Baccalauréat). La Méthode A fonctionne quasiment toujours : on transforme un < ...

par étapes successives (soit par opération de chaque côté, soit par fonction, croissante ou décroissante, de chaque côté). N'oubliez pas qu'on peut démontrer un < ...

en montrant que un – ...

< 0 , c'est-à-dire en montrant un signe négatif… Les exercices 1.

à 5.

utilisent des suites définies par récurrence. Les exercices 6.

à 8.

utilisent des suites définies de manière mixte ( un+1 fonction de un et de n ). Les exercices 9.

à 11.

sont difficiles.. »