Probabilité que 2 personnes soient nées le même jour

« Sujet Math: Combien faut-il de personnes dans un groupe pour qu'il y ait une chance sur deux que deux personnes soient nées le même jour ? Introduction: Spontanément, on pourrait penser que la réponse est environ 180 personnes.

En effet, un groupe de 180 personnes correspondait environ à un groupe de 365 divisé par 2, donc dans ces conditions la probabilité que 2 personnes soient nées le même jour devrait être de 1 demi, soit une chance sur 2.

Mais la réponse n’est pas aussi simple que ça. Tout d'abord nous verrons comment calculer cette probabilité, ensuite nous calculerons la réponse à notre problématique, et pour finir, nous allons voir combien de personnes faut-il pour qu’il y ait 99% de chance pour que 2 personnes soient nées le même jour dans un groupe. 1) Comment calculer cette probabilité ? Pour calculer ce paradoxe, qui porte le nom de paradoxe des anniversaires, il faut comprendre une règle, celle du calcul des probabilités que 2 événements indépendants se produisent en même temps.

Il faut multiplier la probabilité numéro 1 par la probabilité numéro 2. 2 évènements sont indépendants, si la réalisation ou la non réalisation de l’un n’affecte pas la probabilité de réalisation de l'autre. Prenons comme exemple le lancer de 2 pièces.

Les évènements lancer une pièce sont indépendants car les résultats de l’un n'affecte pas les résultats de l’autre.

La probabilité qu’en lançant 2 pièces, les 2 tombent sur face, est de 1⁄2 * ½, soit ¼.

En effet, on multiplie les probabilités d’obtenir face à chacune des piles entre elles. 2) Réponse à la problématique Il en va de même pour les anniversaires.

Les évènements sont bien indépendants, la naissance d’une personne n'influe en rien la naissance d’une autre.

Pour résoudre ce problème on va donc prendre le problème à l'envers, et calculer la probabilité que tous les enfants d’une classe soit né a des jours différents, en omettant les années bissextile.

Si la classe n’a que 2 élèves, l’élève numéro 2 aura 364/365 chance d'être né à une date différente de l’élève numéro 1.

Si un troisième élève les rejoint, il aura 363/365 chance d'être né un jour différent des autres, un quatrième élève aura 362/365 chance, et ainsi de suite. Pour que toutes ces conditions surviennent en même temps, c'est-à-dire pour que tous les élèves soient nés à des dates différentes, il faut multiplier ces probabilités entre elles.

Et pour que le produit de toutes ces probabilités soit supérieur à 50%, il faut aller jusqu’au 23ème élève, donc multiplier 364/365 jusqu'à 343/365, on obtient en effet 0,49, soit 49%. Dans une classe de 23 élèves il y a donc 49% de chance qu’aucun élève ne soit né le même jour, soit 51% de chance que 2 élèves aient la même date de naissance. 3) Combien de personnes faut-il dans un groupe, pour qu’il y ait 99% de chance pour que 2 personnes soient nées le même jour Maintenant que l’on sait que 23 personnes suffisent pour que la probabilité que 2 personnes soit née le même jour soit de 0,51, soit 51%, le double donc 46 personnes devraient suffire pour que la probabilité que 2 personnes aient la même date de naissance soit de 0.99, soit 99%.

Encore une fois, la réponse la plus évidente n’est pas la bonne, car en reproduisant le calcul précédent, il faut 57 personnes pour que la probabilité que 2 personne soit né le même jour soit de 99%.. »