grand oral maths: Un événement de probabilité négligeable peut-il être réalisé ?

« Un événement de probabilité négligeable peut-il être réalisé ? Mettre paradoxe Introduction Cette question philosophique a été illustrée par Borel en 1909 en prenant l’image d’un singe dactylographe. • Le paradoxe du singe savant est un théorème qui affirme qu’un singe qui tape au hasard sur le clavier d’une machine à écrire pourra écrire tous les livres de la Bibliothèque nationale de France avec une probabilité égale à 1. • Bien entendu, ces singes ne sont pas des singes réels, mais la métaphore d’une machine qui produirait des lettres dans un ordre aléatoire, comme un ordinateur. • Nous nous efforcerons de comprendre ce propos à l’aide d’un calcul de probabilité.

Un clavier comporte 50 touches.

On souhaite reconnaître le mot ALÉATOIRE.

Avant tout définissons ce qu’est une probabilité .

Calculer une probabilité, c'est mesurer les "chances" de réalisation d'un événement (partie d'un ensemble). Partie 1 Loi binomiale On va utiliser la loi binomiale pour permettre de calculer cette probabilitée En statistique et dans le domaine des probabilités, la loi binomiale spécifie le nombre de succès après la réalisation d’une série d’expériences aléatoires similaires et indépendantes. C’est à partir d’un schéma Bernoulli qu’on peut définir la loi binomiale.

Un schéma Bernoulli est l’illustration de la répétition de n expériences similaires et indépendantes ayant pour issues un échec et un succès Le paradoxe du singe savant peut elle s’apparenter a une loi binomiale dont je vais enoncer les paramètres : • Expérience à deux issues, qu’on peut assimiler à un tirage de Bernoulli : - frapper 9 lettres au hasard puis observer si le mot ALÉATOIRE est écrit ; - le succès - reconnaître le mot ALÉATOIRE– a pour probabilité p= (1/50)**9 car En tapant au hasard, il y a une chance sur 50 que la première lettre tapée soit a, de même, il y a une chance sur 50 que la deuxième lettre tapée soit l, et ainsi de suite.

Ces événements sont indépendants, et ainsi il y a une chance sur 50**9 que les 9 lettres du mot " ALEATOIRE " soient tapées. • L’expérience est répétée n fois. • Indépendance : afin d’assurer l’indépendance, on considérera un modèle simplifié où l’on sépare les expériences par paquets de 9 lettres CEZHGBATUALÉATOIRE est accepté, ALÉATOIRETYDXWOPLM est accepté, mais CHALÉATOIRENTTSXWP est rejeté.

Le mot ALÉATOIRE n’est pas reconnu s’il est à cheval entre deux paquets de 9 lettres (voir exemple cidessus) : 1 paquet de 9 lettres en rouge, 1 paquet de 9 lettres en vert.

Le mot ALÉATOIRE est reconnu s’il est tout en rouge ou tout en vert mais pas s’il est de deux couleurs. Le nombre le succès suit alors une loi binomiale de paramètres n et p= (1/50)**9 Pour tout entier naturel que l’on va nommer k compris entre 0 et n la loi de probabilités de X est Partie 2 Application à notre exemple Maintenant, la probabilité de ne pas taper " banane " dans un de ces blocs consécutifs de 6 lettres est de (1-50)**9. »