paradoxe anniversaires

« Oral maths Comment expliquer le paradoxe des anniversaires? Hier soir, vous avez organisé une petite fête et invité une vingtaine d’amis.

Alors qu’au milieu de la soirée, la conversation tourne autour des dates d’anniversaires, deux de vos invités découvrent avec stupeur que leur anniversaire tombe le même jour ! – Incroyable ! – Ah oui, quelle coïncidence ! – Tu imagines la probabilité que ça arrive ? Eh bien justement, parlons en de la probabilité ! Il se trouve qu’elle n’est pas du tout négligeable : dans un groupe d’environ 25 personnes, il y a plus de 50% de chance que deux de ces personnes soient nées le même jour.

Ce résultat est tellement contraire à notre intuition qu’on l’appelle le paradoxe des anniversaires. Deux précisions tout d’abord : On suppose que chaque date entre le 1er janvier et le 31 décembre est équiprobable. Ensuite, on néglige la date du 29 février. Pour effectuer le calcul de cette probabilité dans un groupe de N personnes, on va prendre le problème à l’envers, et calculer la probabilité P que toutes les personnes aient leur anniversaire un jour différent.

Et pour calculer cette probabilité, on va classiquement procéder par dénombrement. Commençons par l’ensemble de tous les cas possibles : pour la première personne, 365 dates sont possibles, pour la seconde aussi, de même que pour la troisième et toutes les autres.

Si on multiplie tout ça il y a donc 365 puissance N cas possibles. Maintenant quels sont les cas où les anniversaires sont tous différents : pour la première personne il y a 365 choix, pour la seconde il n’en reste que 364, pour la troisième 363, etc.

et pour la Nième seulement (365-N+1).

Si on multiplie tout ça on trouve la quantité: 365!/(365−𝑁)! Le point d’exclamation après un chiffre correspond au factorielle, la factorielle de n (entier naturel ici) est egal au produit de tout les nombres entiers entre 1 et ce nombre inclu. Par exemple 3! est égal à 1x2x3=6 Ici, 365! est égal à 1x2x3 jusqu’à 364x365.. »