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Publié le 30/05/2022
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TSPÉ MATHS-CH011- COMBINATOIRE ET DÉNOMBREMENT
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COMBINATOIRE ET DÉNOMBREMENT.
CHAP.
11
I) NOTION DE DÉNOMBREMENT :
I – A/ Ensemble fini et cardinal :
DÉFINITIONS :
– Soit n un entier naturel.
Lorsqu’un ensemble E a n éléments, on dit que E est un ensemble fini.
Le nombre d’éléments de E est appelé cardinal de E, noté Card(E).
Ainsi, Card (E) = n.
– Dénombrer, c’est compter le nombre d’éléments que contient un ensemble
E fini, c’est-à-dire, en
déterminer son cardinal card(E).
Exemple n°1 : On considère V l’ensemble des voyelles de l’alphabet.
Ainsi V = {a ; e ; i ; o ; u ; y } et card(V ) = 6
Remarques : – Card () = 0 .
– Certains ensembles ne sont pas finis comme l’ensemble ℕ des entiers naturels ou l’ensemble
des réels de l’intervalle [0 ; 1], etc.
Ce sont des ensembles dits infinies.
– L’ordre dans un ensemble n’intervient pas : F = { a ; b } = { b ; a }
et il n’y a pas de répétition d’un élément : Ainsi { a ; a ; c } = { a ; c }
I – B/ Principe additif :
PROPRIÉTÉ :
p ℕ avec p≥2
Soient A1, A2, … , Ap, p ensembles finis deux à deux disjoints.
On a : Card( A 1 ⋃ A2 ⋃ … ⋃ A p ) = Card( A 1) + Card( A 2) + Card( A p)
Soit
A1 A2 A3
…
Ap
COROLLAIRE : (CONSÉQUENCE)
Soit
A une partie de l’ensemble E fini et A
On a : Card(
A
) = Card(
E)–
Card(
A)
le complémentaire de
A dans E.
A
A
E
Exemple n°2 :
Soit E1 = { a ; b ; c ; d } et E 2 ={ ; ; }
Puisque E 1 ⋂ E 2 = (E1 et E2 sont disjoints ), alors Card(E 1 ⋃ E 2) = Card(E 1)+ Card(E 2) = 4 + 3 = 7.
En effet, E 1 ⋃ E 2 = { a ; b ; c ; d ; ; ; }
I – C/ Principe multiplicatif :
Exemple n°3 : Le dilemme de l’armoire.
(Notion du produit cartésien et de k-uplet)
Chaque matin, on choisit son habillement de façon aléatoire.
On considère les 3 ensembles suivants : E 1 ={chemise, polo ; T-shirt}
E 2 ={pantalon ; jeans ; short }
E 3 ={mocassins ; basket ; boots ; sandales }
On appelle produit cartésien E 1× E 2× E 3, l’ensemble de tous les triplets ( "3-uplets") formés d’un élément de
E 1, d’un élément de E 2 et d’un élément de E 3.
Par exemple, un triplet possible ( un 3-uplet possible) du
produit cartésien est (chemise ; jeans ; basket) un autre triplet est (polo ; short ; boots).
En tout, il y a 3×3×4
soit 36 triplets différents pour le produit cartésien E 1× E 2× E 3.
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