Chapitre 9. Orthogonalité et produit scalaire dans l'espace

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Orthogonalité et produit scalaire dans l'espace I.

Produit scalaire de deux vecteurs 1) Définition Soit 𝑢 ⃗ et 𝑣 deux vecteurs de l'espace.

𝐴, 𝐵 et 𝐶 trois points tels que 𝑢 ⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 et ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑣 = 𝐴𝐶 .

Il existe un plan P contenant les points 𝐴, 𝐵 et 𝐶. Définition : On appelle produit scalaire de l'espace de 𝑢 ⃗ et 𝑣 le produit 𝑢 ⃗ .

𝑣 égal au produit ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ scalaire 𝐴𝐵 .

𝐴𝐶 dans le plan P. H On a ainsi : -𝑢 ⃗ .

𝑣 = 0 si 𝑢 ⃗ ou 𝑣 est un vecteur nul, -𝑢 ⃗ .

𝑣 = ‖𝑢 ⃗ ‖ × ‖𝑣 ‖ × cos(𝑢 ⃗ ; 𝑣) Exemple : 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 est un cube d'arête 𝑎. 𝑢 ⃗ .

𝑣 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 .

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐷𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵 .

𝐴𝐹 = 𝐴𝐵 × 𝐴𝐵 = 𝑎2 (méthode de la projection dans le plan) Avec la définition : on calcule 𝐴𝐹 = 𝑎√2 par la propriété ̂ = 45°, et le cosinus vaut de Pythagore.

Comme 𝐵𝐴𝐹 √2 √2 alors 𝑢 ⃗ .

𝑣 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 .

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐹 = 𝑎 × 𝑎√2 × =𝑎² 2 2 2) Propriétés Les propriétés dans le plan sont conservées dans l'espace. Propriétés : Soit 𝑢 ⃗ , 𝑣 et 𝑤 ⃗⃗ trois vecteurs de l'espace. -𝑢 ⃗ .𝑢 ⃗ = ‖𝑢 ⃗ ‖2 - Symétrie : 𝑢 ⃗ .

𝑣 = 𝑣.

𝑢 ⃗ - Bilinéarité : 𝑢 ⃗ .

(𝑣 + 𝑤 ⃗⃗ ) = 𝑢 ⃗ .𝑣 + 𝑢 ⃗ .𝑤 ⃗⃗ et (𝑣 + 𝑤 ⃗⃗ ).

𝑢 ⃗ = 𝑣.

𝑢 ⃗ +𝑤 ⃗⃗ .

𝑢 ⃗ (𝑘 𝑢 ⃗ ).

𝑣 = 𝑢 ⃗ .

(𝑘 𝑣) = 𝑘(𝑢 ⃗ .

𝑣), 𝑘 ∈ ℝ - Orthogonalité : 𝑢 ⃗ .𝑣 = 0 ⟺ 𝑢 ⃗ et 𝑣 sont orthogonaux (ou 𝑢 ⃗ = 0 et 𝑣 = 0). »