Loi binomiale

« I.

Variable aléatoire et probabilités conditionnelles. 1.

Variable aléatoire discrète. Définir une variable aléatoire pour une expérience aléatoire d’univers , c’est associer à chaque issue de , un nombre réel. La loi de probabilité d’une variable aléatoire X à chaque valeur ai prise par X la probabilité de l’événement (X = ai ). Cette probabilité peut être notée pi = p ( X = ai ). On la représente généralement sous forme de tableau. ai a1 a2 … … … an pi = p ( X = ai ) p1 p2 … … … pn Remarque : On a : p1+ p2 +… … …+ pn = 1 Définitions : Soit X une variable aléatoire de loi de probabilité (xi ;pi). ▪ L’espérance mathématique de la variable aléatoire X est le nombre E ( X ) défini par : n E ( X ) =  p i xi i=1 ▪ La variance de la variable aléatoire X est le nombre V (X) défini par : n  n  V ( X ) =  p i (xi – E ( X ) ) ² ou V ( X ) =   pi xi 2  – E ( X ) ²  i =1  i=1 ▪ L’écart type de la loi de probabilité est le nombre  défini par : (X) = V 2.

Probabilités conditionnelles. Définition: p désigne une probabilité sur un univers fini . A et B étant deux événements de , B étant de probabilité non nulle. On appelle probabilité conditionnelle de l’événement A sachant que B est réalisé le réel : PB ( A ) = P ( A  B) p (B ) . Remarque : Si A et B sont tous deux de probabilité non nulle, alors les probabilités conditionnelles PB ( A ) et PA (B ) sont toutes les deux définies et on a : p(A  B) = pB ( A )  p(B)= p A (B )  p(A). On peut alors construire un arbre pondéré : Propriétés : et 0 ⩽ pA ( B ) ⩽ 1 ➢ pA (  ) = 1 ➢ pA B = 1 − pA ( B ) ➢ p ( A  B ) = pA ( B )  p ( A ) ➢ ( ) Si B et C sont incompatibles : pA ( B  C ) = pA ( B ) + pA ( C ) Propriété : Formule des probabilités totales Soient A1, A2, …, An une partition de l’univers  constituée d’événements de probabilités non nulles et B un événement quelconque contenu dans . Alors: p(B) = p(B  A1) + p(B  A2) + … + p(B  An) 3.

Évènements indépendants. Définitions : A et B sont 2 événements de probabilité non nulle. ▪ A et B sont indépendants lorsque la réalisation de l’un ne change pas la réalisation de l’autre. Autrement formulé : ▪ A et B sont indépendants si et seulement si : pB ( A ) = p(A) ou p A (B ) = p(B). Théorème : Deux événements A et B de probabilité non nulle sont indépendants si et seulement si : p( A  B) = p(A)  p(B). Remarque : Ne pas confondre événements indépendants et événements incompatibles. ▪ 2 événements A et B sont indépendants si p(A  B)= p(A)p(B) ▪ 2 événements A et B sont incompatibles si A  B = . II. Répétition d’épreuves indépendantes. 1.

Epreuve de Bernoulli. Définition : Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues que l'on peut nommer.... »