La loi binomiale

« La loi binomiale L'essentiel du cours Défin ition d'une loi binomiale • Une épreuve de Bernoull i est une expér ience aléatoire qui conduit à deux issues: réuss ite ou échec.

Si p est la probabilité de réussite, la probabilité d'échec est 1 -p.

• Lorsq ue l'on répète une épreuve de Bernoull i on obtient un schéma de Bernoulli.

La loi de probabilité de la var iable aléatoire égale au nombre de succès d'un schéma de Bernoulli s'appelle une loi bino miale .

Sin est le nombre de répétit ions de l'expérience etp la probab ilité de réuss ite de chacune, on note cette loi B(n; p).

• Pour qu'une loi soit une loi binomiale , il faut que tro is conditions soie nt réali­ sées : on répè te une expé rience aléatoire ; chaq ue expérience a deux issues (réuss ite, échec) ; les résultats sont indépendants.

Calcul d'une probabilité avec la loi binomiale Propriété Si une variable aléatoire X suit une loi binomia le B(n; p) alors la probabilité de k succ ès (k compris entre o et n) est éga le à : P(X = k) = (;) x lx (1-pf -k.

Remarque le coe fficient binomial est donné par la calculatrice : -pour la Texas inst rument Tl 82 : dans le menu Maths, choisir l'option PRB et sélectionner nCr ; -pour la Cas io Graph 25 : dans le menu OPTION, choisir PROB, puis nCr .

(n est le nombre de répét itions et r la probabilité de réussite.) Espérance d'une loi binomiale Espérance de la variable aléatoire X associée à une épreuve de Bernoulli la loi de probab ilité de X est donné e par le tab lea u : 1 ; Donc E(X) = o x (1 -p) + 1 x p = p.

0 1-p 1 : 1 Espérance de la variable aléatoire Y associée à une loi binomiale B(n; p) Pour n répétitions on obtient E(Y) = n x p.. »