Loi binomiale

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C O ST A N TIN I L O I B IN OM IA LE I) In tr o ductio n La p ro bab ilité q u'u n t ir e u r a tte ig ne s a c ib le e st p = 3 4 . 1 .

O n s u p pose q u'i l f a it d eu x t ir s e t o n n o te X l a v aria b le a lé ato ir e a sso cia n t à c ette é p re u ve l e n o m bre d e s u ccès o bte n us.

( X = 0 , 1 o u 2 ) a ) C alc u le r l a p ro bab ilité d es é v én em en ts [ X = 0 ], [ X = 1 ] e t [ X = 2 ].

( O n p ourra s 'a id er d 'u n a rb re " p o nd éré " e t o n d ésig nera p ar S l e s s u ccès e t E l e s é ch ecs). b ) C alc u le r PX k k ( [ ]) = = 0 2 . 2 .

O n s u p pose m ain te n an t q u'i l f a it s ix t ir s e t o n n o te Y l e n o m bre d e s u ccès o bte n us.

( Y Î { 0 ; 1 ; ...

; 6 }) On v o ud ra it c alc u le r l a p ro bab ilité d e l 'é v én em en t [ Y = 4 ]. a ) Peu t- o n e n co re r a is o nner à l 'a id e d 'u n a rb re ? b ) C alc u le r l a p ro bab ilité q u'i l c o m men ce p ar q uatr e s u ccès s u iv is d e d eu x é ch ecs. c ) M ais le s s u ccès e t le s é ch ecs n 'a p para is se n t p as n écessa ir e m en t d an s c et o rd re .

P arm i le s " m ots " d e s ix l e ttr e s q ui n e c o ntie n nen t q ue d es S e t d es E , c o m bie n c o ntie n nen t e x acte m en t q uatr e f o is l a l e ttr e S ? d ) E n d éd uir e l a p ro bab ilité d e l 'é v én em en t [ Y = 4 ]. I I) L oi b in om ia le : d éfin it io n 1) D éfin itio n S oit W l 'u niv ers a sso cié à u ne e x p érie n ce a lé ato ir e .

S oit X u ne v aria b le a lé ato ir e d éfin ie s u r W . On d it q ue X s u it u ne l o i b in o m ia le d e p ara m ètr e s n Î
* e t p Î [ 0 ; 1 ] l o rs q ue : · X(W ) = { 0 ; 1 ; ...

; n } · pour t o ut k Î { 0 ; 1 ; ...

; n }, P ([X = k ]) = C nk pk ( )1- - pn k On n o te p arfo is X B (n ; p ). R em arq ue : o n a b ie n : PX k kn ( [ ]) = = 0 = C nk k n = 0 p k( )1- - pn k = ( ) [ ]pp n +- 1 = 1 , c e q ui e x p liq ue p ourq uo i c ette lo i e st d ite " b in o m ia le ". 2 ) T héo rè m e Soit  u ne é p re u ve c o m porta n t d eu x i s su es ( Su ccès e t Ec h ec).

O n n o te p l a p ro bab ilité d e Su ccès. O n r é p ète n f o is , d e f a ço ns in d ép en d an te s, l'é p re u ve  .

S oit X la v aria b le a lé ato ir e c o rre sp ond an t a u n o m bre d e su ccès.

A lo rs : X s u it u ne l o i b in om ia le d e p ara m ètr es n e t p D ém onstr a tio n : e n g én éra lis a n t l e r a is o nnem en t v u e n i n tr o ductio n ( I.2 .b )c )d )): L a p ro bab ilité d 'a v o ir k s u ccès s u iv is d e n - k é ch ecs e st : p k( )1- - p n k. »