Cours sur les primitives et les équations différentielles Tle

« Equations différentielles, Primitives Le projet de cette partie est d'apprendre à utiliser le cheminement réciproque de la dérivation. Les applications sont nombreuses en sciences, qui regorgent de relations entres des grandeurs et leurs dérivées, ce qui amène à résoudre des équations appelées équations différentielles. I.

Notion d'équation différentielle Lorsque l'on connaît l'expression algébrique d'une fonction, il est en général facile de déterminer si elle est dérivable, et d'exprimer ensuite sa fonction dérivée qui est unique. Le cheminement réciproque consiste à trouver la ou les fonctions qui, lorsqu'on les dérive, donnent la fonction de départ.

Ce processus est un peu plus complexe que la dérivation notamment car il n'y a pas unicité, et pas non plus de formule sur le produit ni le quotient. Définition : Une équation différentielle du premier degré est une équation dont l'inconnue est une fonction, et qui fait intervenir la dérivée de cette fonction. Une solution d'une équation différentielle est une fonction qui vérifie l'égalité que constitue l'équation. Résoudre une équation différentielle, c'est trouver toutes les solutions. REMARQUE : Cela suppose que la fonction est bien dérivable sur un intervalle de résolution de l'équation différentielle. Important : l'inconnue d'une équation différentielle est une fonction, pas un nombre. On la note souvent y pour ne pas confondre avec le célèbre x qui est en général un nombre. EXEMPLE Soit (E ) l'équation y ' =2 x 2 f : x → x est UNE solution de (E) sur R , car f est bien dérivable sur R , et pour tout, ' x ∈ R , f ( x ) =2 x , g : x → x 2 +103 est une autre solution de (E) sur R , car g est aussi dérivable sur R , et pour tout x ∈ R , g ' ( x )=2 x aussi II.

Primitive d'une fonction 1.

Définition Primitive d'une fonction Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R . Une primitive de f est une fonction (souvent notée en majuscule) F , dérivable sur ce même intervalle I, et telle que F ' = f . Autrement dit  Une primitive F de f est une solution de l'équation différentielle y ' = f .  Trouver une primitive est le processus réciproque de trouver une dérivée. EXEMPLE Soit f : x → 1 2√ x définie sur ¿ 0 ;+∞ ¿ F : x → √ x +3 est UNE primitive de f sur ¿ 0 ;+∞ ¿ car sur cet intervalle, F ' = f F n'est pas une primitive de f sur ¿, car F n'est pas dérivable en 0. REMARQUES  De même qu'il existe des fonctions qui ne sont pas dérivables, il existe des fonctions qui n'ont pas de primitive.

L'existence d'une primitive n'est pas "automatique"  Il existe des fonctions dont on sait qu'elles ont des primitives sans parvenir à en trouver une expression algébrique.

Par exemple : x → e− x fonction très utile en probabilités. On ne connaît pas d'expression de ses primitives. Propriété : Existence de primitives des fonctions continues (admise) Si f est une fonction continue sur un intervalle I, alors f admet DES primitives sur I. 2 REMARQUE Cette propriété doit être appliquée à chaque fois que l'on recherche DES primitives d'une fonction continue sur un intervalle, c'est à dire dans 99 % des cas rencontrés au lycée. Propriété : (Primitives des fonctions continues à une constante près ) Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I . Si G est UNE primitive de f sur I , alors (toutes) LES primitives de f sur I sont les fonctions : G( x)+ K , Où K ∈ R . Important : cette propriété implique que si une primitive existe, alors il y en a une infinité et que si on connaît une primitive de f sur I , alors on les connaît toutes, car elles ne diffèrent que d'une constante. Méthode : pour donner toutes les primitives d'une fonction continue sur un intervalle I il suffit d'en trouver UNE et d'ajouter une constante K qui peut prendre toutes les valeur dans R . EXEMPLE Soit f définie sur R par f ( x )=6 x 5 .

Donner toutes les primitives de f. f est continue sur R car c'est une fonction polynomiale, donc f admet DES primitives.

On vérifie que F : x → x 6 est UNE primitive de f sur R , car F est dérivable sur R et que pour tout x ∈ R , F ' ( x )=6 × x 6−1= f ( x) . On peut donc affirmer que LES primitives de f sur R sont les fonctions x → F ( x ) + K où K ∈ R DÉMONSTRATION Soient F et G deux primitives de f sur I . La fonction F −G est dérivable sur I comme différence de deux fonctions qui le sont, et pour tout x ∈ R : ( F −G )' =F ' ( x ) −G' ( x )= f ( x )− f ( x )=0 F −G est ainsi une fonction constante sur R , donc il existe K ∈ R tel que pour tout x ∈ R , (F −G)( x)= K . Ceci équivaut à dire que pour tout x ∈ R , F ( x)=G (x )+ K . Propriété : Unicité de la primitive pour une condition sur un nombre et son image Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I, et deux nombres réels x 0 et y 0 . Il existe une unique primitive F de f sur I qui vérifie la condition F ( x 0 )= y 0 . SUITE DE L'EXEMPLE PRÉCÉDENT Lister les primitives de la fonction f telles que l'image de 1 est 17 . La seule primitive G de f sur R telle que G ( 1 )=17 est la fonction x → x 6 +16. En effet, G ( 1 )=16 +16=17, et la propriété affirme qu'il y a unicité. 2.

Primitives des fonctions de référence Méthode Les primitives des fonctions de référence sont obtenues  En prenant à l'envers les propriétés de dérivation des.... »