PRIMITIVES, ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

« Chapitre 7 PRIMITIVES, ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES Préambule : une équation différentielle est une équation reliant une fonction notée y, la variable x et ses dérivées successives (y’, y’’, …).

L’inconnue est la fonction y et non la variable x. 1 1 1 Exemple : y = y’ + y’’ + – 2x, x  IR, est une équation différentielle.

La résoudre consiste à trouver toutes les fonctions y dérivables 4 8 2 1 1 1 deux fois sur IR, telles que x  IR : y(x) = y’(x) + y’’(x) + – 2x. 4 8 2 Question : la fonction f(x) = e2x – 2x est-elle une solution de cette équation ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Réponse : on calcule f ’(x) + f ’’(x) + – 2x = (2e2x – 2) + (4e2x) + – 2x = e2x – + e2x + – 2x = e2x – 2x = f(x) : f est donc bien 4 8 2 4 8 2 2 2 2 2 une solution de cette équation différentielle. I – Équation différentielle du type y’ = f 1) Définition : f étant une fonction continue sur un intervalle I, toute fonction F est une primitive de f sur I si F est dérivable sur I et est solution de l’équation différentielle y’ = f, c’est-à-dire telle que F’(x) = f(x) pour tout x  I. Exemple : une primitive de la fonction f(x) = ln x sur I = ]0 ; + [ est une fonction F dérivable sur I telle que, x  I, F’(x) = ln x. Vérifier que la fonction F(x) = x(ln x – 1) est une primitive de f sur I : 1 → On calcule F’(x) = 1(ln x – 1) + x  = ln x – 1 + 1 = ln x = f(x). x 2) Primitives et opérations Propriété Pour toutes fonctions f et g qui ont respectivement pour primitives F et G sur un intervalle I, et pour tout réel  : ● F + G est une primitive de f + g ● F est une primitive de f ● Conséquences : – F est une primitive de – f, F – G est une primitive de f – g, et Attention : F  G n’est pas une primitive de f  g, et F f est une primitive de (si   0)   F f n’en est pas une de , ni F² de f ². G g Preuves : elles viennent des règles de dérivation, par exemple (F + G)’ = F’ + G’ = f + g ; (F)’ =   F’ = f ; … Exemple : on admet que F(x) = x² e – x est une primitive de la fonction f(x) = (2 – x)xe– x sur IR. En déduire une primitive pour chaque fonction suivante : 1 g(x) = 2ex – 1 + (2 – x)xe– x et h(x) = ( x – 1)xe– x 2 1 x → On remarque que g(x) = k(x) + f(x) avec k(x) = 2e – 1 et h(x) = – f(x). 2 F est une primitive de f et k a pour primitive K(x) = 2ex – x, donc G(x) = K(x) + F(x) = 2ex – x + x²e – x est une primitive de g, et 1 1 H(x) = – F(x) = – x²e – x est une primitive de h. 2 2 3) De plusieurs primitives à une seule Théorème ① Si F est une primitive de f sur I, alors f admet une infinité de primitives, et toute primitive G de f est de la forme : G(x) = F(x) + k où k est une constante réelle. ② Primitive avec condition initiale : Si f admet des primitives sur I, alors a  I et b  IR, il existe une unique primitive F de f telle que F(a) = b (condition initiale).. »