Cours convexité

« 1 Chapitre 03’ : CONVEXITÉ Prérequis : chapitres des fonctions, dérivées de fonctions,études de signes…..(rappels signes…..(rappels p262 (sauf composée de fonctions Objectifs :-convexité convexité d’une fonction et points d’inflexion - Résolution de problème grâce à la convexité des fonctions Démo :f est convexe si f’ est croissante c’est-à-dire ssi f’’ est positive Objectif I.

Dérivée seconde Définition : Soit une fonction dérivable sur un intervalle I dont la dérivée ′ est dérivable sur I. On appelle fonction dérivée seconde de sur I la dérivée de et on note : . ′ Exemple : Soit la fonction f définie sur ℝ par Pour tout x de ℝ, on a : ′ Pour tout x de ℝ, on a : ′′ 18a-20a-21ap271-272 9 ′ 3 10 . ′ 18 5 1. 10. Objectif II.

Fonction convexe et fonction concave Vidéo https://youtu.be/ERML85y_s6E 1) Définitions avec les cordes Définition : Une corde est un segment reliant deux points d'une courbe. Définitions : Soit une fonction f définie sur un intervalle I. - La fonction f est convexe sur I si, sur l'intervalle I, sa courbe représentative est entièrement située en dessous de chacune de ses cordes. - La fonction f est concave sur I si, sur l'intervalle I, sa courbe représentative est entièrement située au-dessus dessus de chacune de ses cordes. cordes Fonction convexe 42p274 Fonction concave 2 2) Définitions avec les tangentes Définitions : Soit une fonction f dérivable sur un intervalle I. - La fonction f est convexe sur I si, sur l'intervalle I, sa courbe représentative est entièrement située au-dessus de chacune de ses tangentes. - La fonction f est concave sur I si, sur l'intervalle I, sa courbe représentative est entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes. Fonction convexe Fonction concave Résolu 11p269+13p269+43p274 3) Propriétés Propriétés : - La fonction carré ⟼ est convexe sur ℝ. - La fonction cube ⟼ est concave sur ∞ ; 0 et convexe sur 0 ; ∞ . - La fonction inverse ⟼ est concave sur ∞ ; 0 et convexe sur 0 ; ∞ . - La fonction racine carrée - Admis - ⟼ √ est concave sur 0 ; ∞. Propriété : Soit une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. - Dire que la fonction est convexe sur I, revient à dire que sa dérivée ′ est croissante sur I, soit : ′′ ≥ 0, pour tout x de I. - Dire que la fonction est concave sur I, revient à dire que sa dérivée ′ est décroissante sur I, soit : ′′ ≤ 0, pour tout x de I. Démonstration au programme : (vidéo sur jaicompris.com) - Démontrons que est convexe, si ′ est croissante : On considère la fonction g dérivable sur I et définie par : " " " . ! Alors : !′ ′ " . Or ′ est croissante sur I, donc !′ est également croissante. De plus, !′ " 0.

Donc !′ est négative pour ≤ " et positive pour On peut donc compléter le tableau de variations de !. ≥ ". 3 " " " " 0 En effet : ! " " Donc ! ≥ 0 sur I. Soit ≥ " " " On en déduit que.... »