1e spécialité – COURS – Dérivation

« 1e spe cialite – COURS – De rivation Table des matières OBJECTIFS D’APPRENTISSAGE ............................................................................................................................

2 I. Rappel : équations de droites .....................................................................................................................

3 Exercice 1 .......................................................................................................................................................

3 II. Nombre dérivé d’une fonction en un réel donné ......................................................................................

4 Exercice 2 .......................................................................................................................................................

5 Exercice 3 .......................................................................................................................................................

6 Exercice 4 .......................................................................................................................................................

6 Exercice 5 .......................................................................................................................................................

6 III. Fonction dérivée .....................................................................................................................................

7 Exercice 6 .......................................................................................................................................................

8 Exercice 7 .......................................................................................................................................................

9 Exercice 8 .......................................................................................................................................................

9 Exercice 9 .......................................................................................................................................................

9 Exercice 10 .....................................................................................................................................................

9 Exercice 11 .....................................................................................................................................................

9 Exercice 12 .....................................................................................................................................................

9 IV. Sens de variation ...................................................................................................................................

10 Exercice 13 ...................................................................................................................................................

11 Exercice 14 ...................................................................................................................................................

11 Exercice 15 ...................................................................................................................................................

11 Exercice 16 ...................................................................................................................................................

11 Exercice 17 ...................................................................................................................................................

12 Exercice 18 ...................................................................................................................................................

13 Exercice 19 ...................................................................................................................................................

13 1e Spé – Dérivation 1 OBJECTIFS D’APPRENTISSAGE Prérequis • • • • Equations de droites Reconnaître la forme d’une expression algébrique (somme, produit, inverse, quotient) Trouver les racines d’une expression Etudier le signe d’une expression Savoirs (vocabulaire / formules) • • • • Nombre dérivé d’une fonction en un réel (dérivée locale) Taux d’accroissement d’une fonction Droite tangente à la courbe d’une fonction en un point donné Fonction dérivée sur un ensemble (dérivée globale) Savoir-faire (automatismes) • • • • • Calculer le taux d’accroissement et sa limite quand ℎ tend vers 0 Etudier la dérivabilité d’une fonction en un réel donné Equation d’une tangente à la courbe d’une fonction en un point de la courbe Calculer la dérivée d’une fonction sur un ensemble (dérivée globale) Etudier la dérivabilité d’une fonction sur un ensemble donné Méthodes / Raisonnement • Etudier les variations d’une fonction sur un ensemble 1e Spé – Dérivation 2 I. Rappel : équations de droites Propriété : Dans un repère du plan, toute droite non verticale possède une équation réduite de la forme 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑝 • Si 𝑝 = 0, alors 𝑦 = 𝑚𝑥 • Si 𝑝  0, alors 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑝 est l’équation réduite d’une droite oblique est l’équation réduite d’une droite horizontale Le coefficient 𝑚 s’appelle le coefficient directeur de la droite 𝒎= ∆𝒚 ∆𝒙 Le coefficient 𝑝 s’appelle ordonnée à l’origine de la droite Vidéo : Déterminer l'équation réduite d’une droite.

y=mx+p Exercice 1 Déterminer l’équation réduite de chacune des droites ci-dessous 1e Spé – Dérivation 3 II. Nombre dérivé d’une fonction en un réel donné Vidéos : Dérivation.

Taux d’accroissement d'une fonction f entre a et a+h Dérivabilité d'une fonction f en a avec le taux d'accroissement Définition : On appelle taux de variation de la fonction 𝑓 entre 𝑎 et 𝑎 + ℎ, le quotient 𝑡(ℎ) = 𝑓(𝑎+ℎ) − 𝑓(𝑎) ℎ 𝑓(𝑎 + ℎ)) 𝑓(𝑎) 𝑎 𝑎 + ℎ Définition : Si le taux de variation 𝑡(ℎ) tend vers un réel quand ℎ tend vers 0, on dit que 𝒇 est dérivable en 𝒂. Le réel obtenu est le nombre dérivé de 𝒇 en 𝒂, noté 𝒇’(𝒂). 𝒇’(𝒂) = 𝐥𝐢𝐦 . 𝒉 →𝟎 Vidéos : 𝒇(𝒂+𝒉) − 𝒇(𝒂) 𝒉 Etudier la dérivabilité de la fonction inverse en a=3 Dérivabilité de la fonction valeur absolue en 0.

Point anguleux. Dérivabilité de la fonction racine carrée en 4 et en 0. Définition : La droite qui passe par le point A(𝑎 ; 𝑓(𝑎)) et qui a pour coefficient directeur 𝑓’(𝑎) est la tangente à la courbe au point d’abscisse 𝒂. Son équation est : 𝒚 = 𝒇’(𝒂)(𝒙 – 𝒂) + 𝒇(𝒂) http://www.gymomath.ch/javmath/3eme_diplome/introderive/sectgte.html Vidéos : Nombre dérivé graphiquement.

Coefficient directeur de tangente. Equation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a Déterminer l'équation d'une tangente au point d'abscisse a.

EXERCICE 1e Spé – Dérivation 4 Exercice 2 Pour chacune des fonctions ci-dessous, démontrer qu’elle est dérivable en 𝑎 et calculer 𝑓′(𝑎) puis déterminer l’équation de la tangente à la courbe représentative au point d’abscisse 𝑎. 1.

𝑓(𝑥) = 𝑥 2 2.

𝑓(𝑥) = 1 𝑥 1e Spé – Dérivation 𝑎=2 𝑎=2 5 Exercice 3 La courbe tracée ci-dessous est la courbe représentative d’une fonction 𝑓 définie sur IR. Par lecture graphique, déterminer 𝑓′(0), 𝑓′ (2) et 𝑓′ (3). Exercice 4 La courbe ci-contre est la représentation graphique d’une fonction 𝑓 définie sur IR dans un repère du plan. On note 𝑓′ la fonction dérivée de 𝑓 sur IR. La courbe vérifie les propriétés suivantes : • La tangente à la courbe au point A d’abscisse – 2 est parallèle à l’axe des abscisses; • La tangente à la courbe au point B(0 ; 2) passe par le point de coordonnées (2 ; 0). Donner les valeurs de 𝑓(−2), 𝑓′(−2) et 𝑓′(0) Exercice 5 Sur la figure ci-dessous les droites 𝑑 1, 𝑑 2, 𝑑3 et 𝑑 4 sont tangentes à la courbe 1.

Déterminer graphiquement 𝑓(0), 𝑓(2), 𝑓(4) et 𝑓(8). 2.

Déterminer graphiquement les nombres dérivés 𝑓′(0), 𝑓′(2), 𝑓′(4) et 𝑓′(8). 3.

En déduire les équations réduites des tangentes 𝑑 1, 𝑑 2, 𝑑 3 et 𝑑4. 1e Spé – Dérivation d’une fonction 𝑓 sur IR. 6 III. Fonction dérivée Soit 𝑓 une fonction définie sur un intervalle 𝐼 de IR. Lorsque pour tout réel 𝑥 appartenant à 𝐼, 𝑓 est dérivable en 𝑥, on dit que 𝑓 est dérivable sur 𝐼. La fonction qui, à tout réel 𝑥 appartenant à 𝐼, associe son nombre dérivé 𝑓′(𝑥) est appelée la fonction dérivée de 𝑓 sur l’intervalle 𝐼.

Elle est notée 𝑓′. Exemples : Pour chacune des fonctions précédentes, démontrer qu’elle est dérivable en tout 𝑥 de son ensemble de définition et déterminer 𝑓′(𝑥). FORMULAIRE 𝑓 Condition Fonctions polynômes Fonctions inverses Fonction racine carrée 𝑥  IR, 𝑘  IR 𝑓(𝑥) = 𝑘 𝑓’(𝑥) = 0 𝑥  IR 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑓’(𝑥) = 1 𝑥  IR 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 𝑓’(𝑥) = 2𝑥 𝑥  IR, 𝑛  IN 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑛 𝑓’(𝑥) = 𝑛𝑥 𝑛 – 1 𝑥  IR \ {0} 𝑓(𝑥) = 𝑥  IR \ {0} 𝑓(𝑥) = 𝑥  IR \ {0}, 𝑛  IN 𝑓(𝑥) = f définie sur [0 ; + [ et dérivable sur ]0 ; + [ 𝑓(𝑥) = √𝑥 Condition.... »