Probabilités conditionnelles

« Probabilités conditionnelles L'essentiel du cours Définition d'une probab ilité conditionnelle Lecture d'un arbre • On considère une expérience aléatoire et deux événements A et B quelconques de proba - bilités non nulles.

L'évé nement A est réalisé puis l'événement B.

On peut visualiser la situa­ tion en utilisant un arbre pondéré.

• La probab ilité de l'événement « 8 sachant que l'événement A est réalisé », notée PA(B) peut se calculer en utilisant un arbre.

En effet on P(A nB) a: P(AnB) = P(A) x PA(B) donc PA(B) = ~ - • Par ana logie, on en déduit que la probabilité P(A ) A S:, LE COURS À ÉCOUTER ~~ ~M P,(B) B P(A n 8) 1;:-8 P(A n 8) ~~ P(A n 8) P;;.(B) B P(A n B) de l'événement« A sachant que l'événement 8 est réalisé» , notée P8(A) sera : P.

(A)= P(BnA).

8 P(B) Propriétés p (B) + p (B) = 1 .

P.

(A)= P(AnB) = P(A) x PA(B) .

A A ' B P(B) P(B) Exemple Dans une population lycéenne, 40 % des élèves aiment les mathématiques (si, c'est poss ible !), 25 % aiment la physique et 10 % aiment à la fois les mathémat iques et la phys ique.

On prend un élève au hasard .

Quelle est la probabilité pour qu'il aime la physique, sachant qu'il aime les mathématiques? Soit A l'événement« l'élève aime les mathémat iques» et 8 l'événement« l'élève aime la phys ique».

L'énoncé donne P(A) = 0,4; P(B) = 0,25 et P(AnB) = 0,1.

On cherche la probabilité pour que l'élève aime la physique sachant qu' il aime les mathématiques, c'est-à-d ire la probabilité de 8 sachant A : p (B) = P(BnA) = 0,1 = 0 25_ A P(A) 0,4 ' Formule des probabi lités tota les Cas d'une partition élémenta ire avec A et A.

Pour tout événement B, on a : P(B) = P(A nB) + P(A nB) = PA(B) x P(A) + PA(B) x P(A).. »