Oral de maths : en quoi une mauvaise compréhension des probabilités peut elle nous amener a faire de mauvais choix ?

« Oral de maths : en quoi une mauvaise compréhension des probabilités peut elle nous amener a faire de mauvais choix ? Introduction : Après les attentats de novembre 2015, des millions de Français ont arrêté de prendre l'avion.

Par peur.

Par instinct de survie. Pourtant, la probabilité de mourir dans un accident de voiture est bien plus élevée que dans un attentat terroriste.

En voulant se protéger, ces personnes ont choisi sans le savoir le moyen de transport le plus dangereux. Ce n'est pas une question d'intelligence.

C'est une question de probabilités mal comprises. Notre cerveau n'est tout simplement pas fait pour raisonner naturellement en termes de probabilités.

Et cette limite, banale en apparence, peut nous conduire à des erreurs aux conséquences parfois très graves — dans notre santé, nos finances, ou même la justice. Ce constat nous amène à poser la question suivante : En quoi une mauvaise compréhension des probabilités peut-elle nous amener à faire de mauvais choix ? Nous verrons, à travers deux situations concrètes et des outils mathématiques précis, pourquoi nos intuitions nous trahissent et comment les mathématiques nous permettent d'y voir clair. Partie 1 théorème de Bayes : Pour mon premier exemple, je vais vous parler d'une situation que beaucoup d'entre nous pourraient vivre un jour : le dépistage du cancer du sein.

En France, Santé Publique France propose une mammographie gratuite à toutes les femmes entre 50 et 74 ans. Imaginez qu'une femme reçoit un résultat positif.

Sa première réaction est la panique — le test est positif, donc elle a forcément un cancer.

Mais est-ce vraiment ce que disent les mathématiques ? Voici les données réelles, issues de Santé Publique France.

Sur 1000 femmes dépistées, environ 8 ont réellement un cancer du sein — c'est ce qu'on appelle la prévalence.

Le test de mammographie est très performant : il détecte le cancer dans pratiquement 99% des cas quand il est présent.

Mais il se trompe aussi : dans 9% des cas, il indique un cancer chez une femme parfaitement saine.

C'est ce qu'on appelle un faux positif.

Une femme passe le test.

Il revient positif.

La question mathématique est la suivante : quelle est la probabilité qu'elle soit vraiment malade ? L'intuition répond : le test est fiable à 99%, donc elle est très probablement malade.

Regardons ce que disent réellement les mathématiques. Je vais maintenant appliquer le théorème de Bayes.

Je note C l'événement 'avoir un cancer', et T+ l'événement 'avoir un test positif'.

Ce que je cherche, c'est P de C sachant T+ — c'est-à-dire la probabilité d'être vraiment malade sachant que le test est positif. J'écris les données.

P de C est égal à 0,0076 — c'est la prévalence, 8 femmes sur 1000.

P de C barre, la probabilité de ne pas avoir de cancer, est égale à 0,9924.

P de T+ sachant C, c'est-à-dire la probabilité d'être positive en ayant le cancer, est de 0,99.

Et P de T+ sachant C barre, la probabilité d'être positive sans avoir le cancer — le fameux faux positif — est de 0,09. J'applique maintenant la formule des probabilités totales pour calculer la probabilité globale d'avoir un test positif.

P de T+ est égal à P de T+ sachant C, multiplié par P de C, plus P de T+ sachant C barre, multiplié par P de C barre.

Ce qui donne : 0,99 multiplié par 0,0076, plus 0,09 multiplié par 0,9924.

Soit 0,0075 plus 0,0893, égal à 0,0968. J'applique maintenant le théorème de Bayes.

La formule est la suivante : P de C sachant T+ est égal à P de T+ sachant C, multiplié par P de C, le tout divisé par P de T+.

Je remplace par mes chiffres : 0,99 multiplié par 0,0076, divisé par 0,0968, soit 0,0075 divisé par 0,0968, ce qui donne environ 0,077. Ce résultat signifie qu'une femme dont la mammographie est positive n'a que 8% de chances d'avoir réellement un cancer. Autrement dit, 9 femmes sur 10 qui reçoivent une mauvaise nouvelle sont en réalité parfaitement saines. Pour rendre ce résultat encore plus concret, imaginons 1000 femmes qui passent toutes une mammographie.

Sur ces 1000 femmes, 8 ont réellement un cancer, et 992 sont saines.

Parmi les 8 femmes malades, le test les détecte toutes.

Parmi les 992 femmes saines, le test se trompe dans 9% des cas — il accuse donc faussement environ 89 femmes en bonne santé.

Au total, 97 femmes ont un test positif.

Et parmi ces 97 femmes paniquées, seulement 8 sont vraiment malades.

Regardez ce tableau — 89 femmes sur 97 sont parfaitement saines, mais ont eu la peur de leur vie. Ce que nous montre le théorème de Bayes est fondamental : un test très fiable peut donner des résultats très trompeurs quand la maladie est rare.

Et cette erreur de compréhension a des conséquences réelles — des femmes qui paniquent inutilement, des traitements parfois engagés à tort, des décisions médicales prises sans comprendre ce que.... »