grand oral maths: Comment le dénombrement et les combinatoires permettent-ils de déterminer le nombre de chiffrement de la machine Enigma ?

« Introduction Durant la Seconde Guerre mondiale, la communication entre les armées était un enjeu stratégique majeur.

Les messages envoyés par radio pouvaient être interceptés par l’ennemi.

Il était donc essentiel de les chiffrer afin qu’ils soient incompréhensibles sans la clé de décryptage. Pour cela, l’armée allemande utilisait une machine appelée Enigma, qui était l’une des premières machines très performantes dans le domaine du chiffrement. Cette machine a joué un rôle important dans la stratégie militaire allemande, notamment dans la guerre de mouvement appelée Blitzkrieg, qui consistait à vaincre rapidement l’ennemi avant qu’une guerre de tranchées ne s’installe. La machine Enigma possédait un très grand nombre de réglages possibles, ce qui rendait les messages très difficiles à décrypter. Cependant, derrière ce système se cache un problème mathématique : il est possible de déterminer le nombre de configurations possibles grâce aux outils de dénombrement et de combinatoire. On peut donc se demander : Comment le dénombrement et les combinatoires permettent-ils de déterminer le nombre de chiffrement de la machine Enigma ? Pour répondre à cette question, nous verrons d’abord le fonctionnement de la machine Enigma, puis comment les outils mathématiques permettent de calculer le nombre de configurations possibles. I — Le fonctionnement de la machine Enigma La machine Enigma fonctionne grâce à un système électrique et mécanique. Lorsqu’un opérateur appuie sur une lettre du clavier, un courant électrique traverse différents composants de la machine avant d’allumer une autre lettre sur un tableau lumineux. Autrement dit, lorsqu’on tape une lettre, une autre lettre apparaît, ce qui correspond au message chiffré. Mais le système possède une particularité très importante : le chiffrement change après chaque lettre tapée. En effet, après chaque frappe, un élément mécanique appelé rotor pivote.

Ce mouvement modifie le circuit électrique, ce qui change le chiffrement de la lettre suivante.

Cela signifie que même une même lettre peut être chiffrée différemment selon le moment où elle est tapée, à cause du mouvement des rotors. Ainsi, si l’on tape deux fois la même lettre, elle ne sera pas forcément chiffrée de la même manière. La puissance de cette machine repose donc sur le très grand nombre de réglages possibles, que l’on peut calculer grâce aux mathématiques. On peut bien sûr chiffrer un message avec la machine Enigma, mais le résultat dépend entièrement des réglages choisis.

Sans connaître ces réglages, il est impossible de prévoir ou de retrouver les messages codés. Maintenant que nous avons vu le fonctionnement général de la machine Enigma, nous allons voir comment les mathématiques permettent de calculer le nombre de réglages possibles. II — Les rotors et les arrangements La machine possède 5 rotors différents, mais seulement 3 sont utilisés à la fois. De plus, l’ordre des rotors est important, car changer leur position modifie complètement le chiffrement. En mathématiques, lorsque l’on choisit plusieurs éléments et que l’ordre est important, on parle d’un arrangement. Le nombre d’arrangements de 3 éléments parmi 5 est : A(5,3) = 5 × 4 × 3 Calcul : 5 × 4 = 20 20 × 3 = 60 Donc : A(5,3) = 60 Il existe donc 60 ordres possibles pour les rotors. Maintenant que nous avons vu le fonctionnement général de la machine Enigma, nous allons voir comment les mathématiques permettent de calculer le nombre de réglages possibles. III — Les positions des rotors Chaque rotor possède 26 positions possibles, correspondant aux 26 lettres de l’alphabet. Comme il y a 3 rotors, le nombre de positions possibles.... »