géométrie dans l'espace VECTEURS, DROITES ET PLANS DE L'ESPACE

« VECTEURS, DROITES ET PLANS DE L'ESPACE 1 1- Vecteurs de l’espace 11) Notion de vecteur dans l'espace Définition : Un vecteur de l'espace est défini par une direction de l'espace, un sens et une norme (longueur). Remarque : Les vecteurs de l'espace suivent les mêmes règles de construction qu'en géométrie plane : relation de Chasles, propriétés en rapport avec la colinéarité, … 12) Translation Définition : Soit u⃗ un vecteur de l’espace.

On appelle translation de vecteur u⃗ la transformation qui au point M associe le point M ’ , tel que : ⃗ MM ' =u⃗ . Remarque : Les translations gardent les mêmes propriétés qu'en géométrie plane : conservation du parallélisme, de l’orthogonalité, du milieu, … 13) Combinaisons linéaires de vecteurs de l’espace w trois vecteurs de l’espace. Définition : Soit u⃗ , v⃗ et ⃗ w, avec α , β et γ réels, est appelé combinaison linéaire des Tout vecteur de la forme α ⃗u + β ⃗v +γ ⃗ w. vecteurs u⃗ , v⃗ et ⃗ Méthode : Représenter des combinaisons linéaires de vecteurs donnés A l’aide du cube ci-contre, représenter les vecteurs a⃗ , b⃗ et c⃗ donnés par : a⃗ =⃗ AB+ ⃗ CG+ ⃗ FH ⃗ ⃗ b=2 AB+⃗ BD−⃗ FC 1 1 c⃗ = ⃗ AD + ⃗ EF + ⃗ BF− ⃗ GF 2 2 Méthode : Exprimer un vecteur comme combinaisons linéaires de vecteurs Dans le parallélépipède ci-contre, M est le centre du rectangle ABCD. Exprimer les vecteurs ⃗ MF comme combinaisons CE , ⃗ MG et ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ linéaires des vecteurs AM , AB et AE . 2 2- Droites de l’espace 21) Vecteurs colinéaires Définition : Deux vecteurs non nuls u⃗ et v⃗ sont colinéaires signifie qu’ils ont même direction c’est à dire qu’il existe un nombre réel k tel que u⃗ =k v⃗ . 22) Vecteur directeur d’une droite Définition : On appelle vecteur directeur de d tout vecteur non nul qui possède la même direction que la droite d. Propriété : Soit A un point de l’espace et u⃗ un vecteur non nul de l’espace.

La droite d passant par A et de vecteur directeur u⃗ est l’ensemble des points M tels que les vecteurs ⃗ AM et u⃗ sont colinéaires. Propriété : Deux droites de l'espace de vecteurs directeurs respectifs u⃗ et v⃗ sont parallèles si et seulement si les vecteurs u⃗ et v⃗ sont colinéaires. 3- Positions relatives de droites de l’espace 31) Positions relatives de deux droites Propriété : Deux droites de l'espace sont soit coplanaires (dans un même plan) soit non coplanaires. d1 et d2 sont coplanaires d1 et d2 sont sécantes d1 et d2 sont parallèles d1 et d2 sont strictement parallèles d1 et d2 sont confondus 3 d1 et d2 sont non coplanaires Exemple : ABCDEFGH est un cube. - Les droites (EG) et (FG) …………… - Les droites (AD) et (FG) ……………. - Les droites (AD) et (CG) ………………….. 4.

Bases et repères de l’espace.... »