Correction de l'épreuve de mathématiques du CRPE 2007du sujet de Besançon, Dijon, Grenoble, Lyon,Nancy-Metz, Reims, StrasbourgDenis Vekemans*Exercice 11.

« Correction de l’épreuve de mathématiques du CRPE 2007du sujet de Besançon, Dijon, Grenoble, Lyon, Nancy-Metz, Reims, Strasbourg Denis Vekemans Exercice 1 1.

Si aet bsont entiers naturels, RDE(a, b )désigne le reste de la division euclidienne de apar bet QDE (a, b )désigne le quotient de la division euclidienne de apar b.  5 + 7 + 9 = 21 ,RDE (21,6) = 3 (en eet, 21 = 3×6 + 3 ),RDE (21,3) = 0 (en eet, 21 = 7×3 + 0 ) ;  15+17+19 = 51 ,RDE (51,6) = 3 (en eet, 51 = 8×6+3 ),RDE (51,3) = 0 (en eet, 51 = 17×3+0 ) ;  1527 + 1529 + 1531 = 4587 ,RDE (4587,6) = 3 (en eet, 4587 = 764 ×6 + 3 ),RDE (4587,3) = 0 (en eet, 4587 = 1529 ×3 + 0 ). 2.

Les trois entiers impairs consécutifs sont notés 2× k+ 1 ,2 × k+ 3 ,2 × k+ 5 .

La somme de ces trois entiers est N= 6 ×k+ 9 . (a) N= 6 ×k+ 9 = 6 ×(k + 1) + 3 puisQDE (N , 6) = k+ 1 etRDE (N , 6) = 3 (le reste est bien inférieur strictement au diviseur). (b) N= 6 ×k+ 9 = 3 ×(2 ×k+ 3) puisQDE (N , 3) = 2 ×k+ 3 etRDE (N , 3) = 0 (le reste est bien inférieur strictement au diviseur). 3.

Les trois entiers impairs consécutifs sont notés 2× k+ 1 ,2 × k+ 3 ,2 × k+ 5 .

La somme de ces trois entiers est N= 6 ×k+ 9 .N = 6 ×k+ 9 = 12027 = 6× k= 12027 9 = 12018 = k= 12018 6 = 2003 . Les trois entiers impairs consécutifs sont 2× 2003 + 1 = 4007 ,2 × 2003 + 3 = 4009 ,2 × 2003 + 5 = 4011 . 4.

On suppose pentier naturel non nul.  1entier impair n’est pas forcément multiple de 5(contre-exemple : 1) ;  une somme de 2entiers impairs consécutifs n’est pas forcément multiple de 5(contre-exemple : 1 + 3 = 4 ) ;  une somme de 3entiers impairs consécutifs n’est pas forcément multiple de 5(contre-exemple : 1 + 3 + 5 = 9 ) ; Université du Littoral Côte d’Opale ; Laboratoire de mathém atiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais cedex ; France 1. »