Sujet Grand Oral Mathématiques Problématique : Les jeux de hasard sont-ils encore un mystère… quand on connaît les probabilités ?

« Sujet Grand Oral Mathématiques Problématique : Les jeux de hasard sont-ils encore un mystère… quand on connaît les probabilités ? Introduction : Qu’appelle-t-on vraiment le hasard ? Quand on lance un dé, fait tourner une roue ou tire une carte, on parle souvent de “hasard”.

Mais est-ce vraiment du hasard ? Si on pouvait connaître la vitesse du lancer, l’angle, les frottements, la position exacte du sol… alors, en théorie, on pourrait prédire le résultat.

La physique le permettrait. Mais dans la réalité, on ne maîtrise jamais toutes ces données : il y en a trop, elles sont trop complexes, et elles nous échappent.

Alors, par simplicité, on considère le résultat comme aléatoire. Mais ce n’est pas un hasard pur ou magique : c’est un hasard modélisé. On ne peut pas dire avec certitude ce qui va se passer sur un seul tirage, mais sur un très grand nombre de répétitions, on peut prévoir des tendances.

C’est exactement le rôle des probabilités : donner du sens à l’imprévisible. Certains rêvent de manipuler ces probabilités pour devenir riche, d’autres les étudient et se rendent à l’évidence : on perd toujours.

Ainsi, nous pouvons nous demander si les jeux de hasard sont encore un mystère, quand on connaît les probabilités. I.

Comment les mathématiques modélisent le hasard A.

Une seule expérience aléatoire Pour étudier le hasard modélisé par les mathématiques, il faut d’abord s’intéresser à des cas simples.

On peut alors utiliser ce qu’on appelle l’épreuve de Bernoulli. Pour comprendre, intéressons nous au lancer d’une pièce.

Deux résultats sont possibles : pile ou face.

Il s’agit ici d’une épreuve de Bernoulli, c’est-à-dire une expérience avec seulement deux issues : un “succès”, ici obtenir pile), ou un “échec”, ici obtenir face. Chaque issue a une probabilité : p pour le succès, 1 − p pour l’échec. On peut associer à cette expérience une variable aléatoire qu’on note X, et qui prend la valeur 1 en cas de succès, et 0 en cas d’échec. A partir de cette variable, on peut utiliser 3 outils pour décrire le comportement du jeu.

D’abord, il y a l’espérance, c’est-à-dire la moyenne attendue de X.

Elle est égale à p.

Ensuite, la variance nous dit à quel point les résultats peuvent s’éloigner de cette moyenne.

Elle vaut p(1 − p).

Enfin, l’écart-type, qui est la racine carrée de la variance, permet de visualiser plus facilement cette dispersion, car il est exprimé dans la même unité que X. Prenons une pièce un peu biaisée, qui donne pile 40 % du temps.

En lançant cette pièce un grand nombre de fois, on peut s’attendre à ce que pile apparaisse environ dans 4 cas sur 10.

Ce ne sera pas exact à chaque fois, mais la tendance générale est prévisible. B.

Répéter l’expérience rend le hasard plus lisible Dans la vie, on ne se limite pas à un seul lancer.

On joue plusieurs fois, on remplit plusieurs grilles, on tente plusieurs paris. Quand on répète la même épreuve de façon indépendante, on parle d’un schéma de Bernoulli. Et dans ce cas, la variable aléatoire X compte non plus le résultat d’un seul essai, mais le nombre total de succès sur un certain nombre d’essais. On dit alors que X suit une loi binomiale.

Elle permet ainsi de calculer la probabilité d’avoir exactement un certain nombre de succès, de connaître l’espérance, qui correspond au nombre moyen de succès attendus (notée np), et de mesurer la variance, c’est-à-dire l’écart autour de cette moyenne (notée np(1 − p)). Imaginons qu’on lance dix fois la même pièce truquée, avec 40 % de chances d’avoir pile à chaque lancer. On s’attend à obtenir environ 4 piles au total.

Et grâce à la loi binomiale, on peut aussi estimer la probabilité d’en obtenir exactement 4. Même si chaque lancer reste aléatoire, les résultats deviennent plus réguliers et prévisibles à l’échelle d’un grand nombre d’essais. C.

Quand les probabilités révèlent à quel point il est difficile de gagner Certains jeux, comme le Loto ou l’Euromillions, ne sont pas modélisables avec une probabilité simple.

Ce qu’il faut regarder ici, c’est le nombre de combinaisons possibles, et donc la difficulté purement mathématique de gagner. C’est la combinatoire qui permet de compter ces combinaisons. Par exemple, pour savoir combien de façons il existe de choisir 5 numéros parmi 49, on utilise un coefficient binomial, noté “k parmi n”.

Il correspond à : Dans le cas du Loto, on obtient environ 1,9 million de combinaisons. Cela signifie que la probabilité de tomber sur la bonne grille est de 1 sur 1,9 million. Et ce chiffre ne change.... »