Sujet grand oral architecture

« Introduction Aujourd’hui, j’ai choisi de vous présenter un sujet qui me passionne profondément : la place des mathématiques dans l’architecture. Si j’ai choisi ce sujet, c’est aussi parce que je souhaite devenir architecte. Depuis l’enfance, je suis fasciné par les monuments, les formes, les matériaux.

Pour moi, l’architecture est un art utile, un moyen de créer des lieux de vie durables, beaux, et adaptés à chacun.

Et dans cette mission, les mathématiques sont un outil fondamental. Cela m’amène à poser la question suivante : En quoi les mathématiques sont-elles visibles dans l’architecture des bâtiments ? Cette question relie deux domaines souvent perçus comme opposés, mais qui, en réalité, coopèrent depuis des siècles : les mathématiques et l’architecture. Pour y répondre, je vais décomposer mon exposé en trois parties : 1. Les mathématiques dans la conception des bâtiments ; 2. Leur rôle dans la structure et l’efficacité énergétique ; 3. Leur influence sur l’esthétique architecturale. I.

Les mathématiques dans la structure des bâtiments 1.

La géométrie Dès la phase de conception, les architectes s’appuient sur la géométrie plane et spatiale. La géométrie plane permet de dessiner des plans en deux dimensions, de calculer les angles, les distances, les proportions. La géométrie spatiale, elle, est utilisée pour concevoir des formes complexes : dômes, arches, escaliers hélicoïdaux, voûtes… Exemples : Le Pont du Gard, avec ses arches semi-circulaires, illustre l’usage de la géométrie pour répartir les charges. L’église Notre-Dame de Royan possède une toiture en "selle de cheval", une surface hyperbolique complexe. 2.

Le calcul vectoriel Le calcul vectoriel est un autre outil essentiel.

Il permet de représenter et d’analyser les forces qui s’exercent sur un bâtiment : le poids, la poussée du vent, la pression du sol… Exemple : Une poutre qui pèse 1 000 N (≈ 100 kg) est posée sur deux supports.  Si les supports étaient en matériaux mous, ils s'écraseraient sous la pression de la poutre.  Chacun des supports supporte donc bien la poutre.  Quelle est la force de résistance exercée sur chacun de ces deux piliers ?  On suppose que la poutre est homogène et elle placée bien au centre des deux piliers.  Le poids de la poutre est exercé en son centre de gravité : force vers le bas de 1 000 N.  En fait, les supports agissent avec une force tournée vers le haut, comme si deux mains tiraient sur des cordes avec la même force pour maintenir la poutre en équilibre  La loi du levier pour cet équilibre donne : 500 N  Dans ce cas de figure où la poutre est en porte à faux, les deux supports ne sont pas placés à égalité. La somme des forces de réaction est toujours 1 000 N, mais les forces de résistances sont réparties en proportion des bras de levier. Conclusion de cette partie : Les mathématiques transforment une idée en un plan réalisable, solide et équilibré. II.

Les mathématiques dans la structure et l’efficacité énergétique 1.

La modélisation numérique Aujourd’hui, les architectes utilisent des logiciels comme AutoCAD, Revit ou SketchUp, fondés sur : La géométrie analytique, L’algèbre linéaire (une branche des mathématiques qui s’intéresse aux espaces vectoriels et aux transformations linéaires) Et parfois même des équations différentielles (équation dont l’inconnue est une fonction) Ils permettent de : Simuler des événements extrêmes, comme des séismes ou des vents violents, Optimiser les matériaux, Et réduire les coûts sans compromettre la sécurité. 2.

Les intégrales Les intégrales permettent de calculer : Des aires complexes, comme celles d’un toit incurvé, Ou des volumes, par exemple pour estimer la quantité de béton nécessaire (avec des intégrales triples) Exemple : Si la courbure d’un toit est modélisée par une fonction f, l’aire du toit peut être obtenue en calculant l’intégrale de la fonction f sur un intervalle donné. 3.

La trigonométrie La trigonométrie est essentielle pour : Calculer la pente des toits, Déterminer des hauteurs inaccessibles, Étudier les forces obliques. On utilise par exemple les fonctions sinus, cosinus et tangente dans les constructions inclinées. Exemple : Pour construire un toit en pente, il faut connaître l’angle d’inclinaison, la longueur des chevrons, ou encore la hauteur du faîtage.

La trigonométrie permet ces calculs avec précision. On peut ainsi calculer la pente d’un bâtiment avec une toiture à deux versants en connaissant seulement la hauteur de pignon et la largeur du bâtiment. ℎ𝑎𝑢𝑡𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑢 𝑝𝑖𝑔𝑛𝑜𝑛 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑢 𝑏𝑎𝑡𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡 2 2 𝑝𝑒𝑛𝑡𝑒 = ≈ 0; 29 14 2 𝑝𝑒𝑛𝑡𝑒 = On a donc une pente de 0,29 soit 29 %, ce qui correspond à la tangente de l’angle d’inclinaison. À l’aide de la calculatrice, on trouve un angle de 16°. III.

Les mathématiques au service de l’esthétique architecturale 1.

La suite de Fibonacci et le nombre d’or La suite de Fibonacci suit la règle suivante : chaque terme est la somme des deux précédents.

Ses premiers termes sont donc 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …. La relation de récurrence qui définit cette suite est 𝑋𝑛+2 = 𝑋𝑛+1 + 𝑋𝑛 . 𝑋 Le rapport 𝑋𝑛+1, qui est le rapport entre deux termes consécutifs de cette suite, se rapproche d’une 𝑛 valeur constante que l’on appelle le nombre d’or. 𝑋 On a alors lim 𝑋𝑛+1 = Φ 𝑛→+∞ 𝑛 Le nombre d'or, ou phi, est un rapport mathématique. Il est défini en géométrie comme l’unique ratio (rapport) entre deux longueurs telles que la plus grande (A) divisée par la plus petite (B) soit égale à la somme des deux divisée par la plus 𝐴 𝐴+𝐵 grande.

On a alors Φ = 𝐵 = 𝐴 On peut alors définir le rectangle d’or qui est un rectangle dont le format est égal.... »