Quel est la forme d'un tas de sable ?

« Poitiers Quelle est la forme du tas de sable ? On verse du sable sec et fin sur une plaque horizontale et surélevée, jusqu’à ce qu’il déborde de tous les côtés. Place aux Sciences Question : quelle est la forme du tas de sable que l’on obtient ainsi ? Poitiers Si la plaque est un quadrilatère : on obtient, pour les faces, deux triangles et deux quadrilatères séparés par une arête dit faı̂tière. Place aux Sciences Lorsque les quatre bissectrices sont concourantes, cette arête se réduit à un point, et l’on obtient un tas pyramidal. Poitiers Dans le cas général : Quand le sable commence à déborder de la plaque, les grains s’écoulent, selon la ligne de plus grande pente, vers le bord de la plaque le plus proche.

La pente du tas de sable ainsi formé est constante. Place aux Sciences Les arêtes du tas de sable sont formées de points équidistants des bords de la plaque les plus proches. Poitiers Mise en équation On rappelle que pour une droite d’équation y = ax + b dans le plan orthonormé (0, x, y), la pente de la droite est y2 − y1 a= x2 − x1 si la droite passe par les points (x1 , y1 ) et (x2 , y2 ). y Place aux Sciences (x1 , y1 ) (x2 , y2 ) 0 x Pour le tas de sable, on raisonne d’abord en dimension 1, ce qui revient à faire une coupe transversale dans le cas de la plaque rectangulaire par exemple.

La plaque est une ligne de longueur L, dont les points sont repérés par une abscisse x ∈ [0, L]. On note h(x) la hauteur du tas de sable à la verticale du point d’abscisse x. Place aux Sciences h(x) 0 x L Poitiers Mise en équation (suite) La pente du tas de sable (au point x1 ) est la dérivée : h(x2 ) − h(x1 ) dh (x1 ) = lim . x2 →x1 dx x2 − x1 Dire que la pente est constante s’écrit dh (x) = constante, dx Place aux Sciences où la constante est indépendante de x ∈ [0, L]. On prend une valeur absolue parce que la pente ne doit pas dépendre de l’orientation choisie.

Sur les bords de la plaque, la hauteur est nulle : h(0) = 0 et h(L) = 0. Poitiers Mise en équation (suite) Poitiers Résolution Le problème est donc de trouver une fonction h : [0, L] → R telle que h(0) = h(L) = 0 et dh (x) = 1 pour tout x ∈ [0, L] dx (1) Place aux Sciences où la constante vaut 1 sans perdre de généralité. Problème : cette équation n’a pas de solution “classique”, i.e.

de solution qui soit partout dérivable sur ]0, L[ et continue sur [0, L] (sinon, on aurait un point x1 ∈]0, L[ tel que dh dx (x1 ) = 0, ce qui contredirait l’équation). Poitiers Résolution (suite) On remarque que la fonction  x h(x) =.... »