grand oral sur le covid

« Version 2 GO math Introduction En 2020, le monde a été frappé de plein fouet par la pandémie de Covid-19.

On a connu confinements, restrictions, hôpitaux saturés…Très vite, une question essentielle s’est posée :Combien de personnes seront infectées demain, la semaine prochaine, le mois prochain ?Autrement dit, peut-on prévoir l’évolution d’une épidémie ? Pour répondre à cela, un outil s’est révélé indispensable : les mathématiques. Elles sont essentielles pour transformer des données brutes en prévisions, et ainsi mieux comprendre comment une épidémie peut évoluer.Elles nous permettent d’observer, de modéliser, d’anticiper.

Mais comment ça marche ? Et jusqu’où peut-on faire confiance à ces modèles ? Pour y répondre, je vais vous présenter trois méthodes mathématiques qui permettent de modéliser la propagation d’un virus : • D’abord les suites, pour une première approche simple, • Ensuite les fonctions exponentielles, qui rendent la croissance plus réaliste, • Et enfin, les équations différentielles, avec le fameux modèle SIR, utilisé en épidémiologie. I.

Les suites : un modèle simple mais révélateur Imaginons qu’un malade contamine en moyenne deux personnes par jour. • Le premier jour, il y a 1 infecté. • Le deuxième jour, 2 nouveaux cas. • Le troisième jour, 4 nouveaux cas. • Puis 8, 16, 32… On voit ici une suite géométrique, qu’on peut modéliser par la formule :Uₙ = U₀ × qⁿ Cette suite illustre la propagation rapide d’un virus en l’absence de contraintes. Ici, • U₀ = 1, c’est le nombre initial de cas, • q = 2, car chaque infecté en contamine 2 autres. Donc :Uₙ = 1 × 2ⁿ Par exemple, au 10ᵉ jour, on a :U₁₀ = 2¹⁰ = 1024 En seulement 10 jours, on est passé de 1 à plus de 1000 cas. Si on suit cette logique, en 20 jours, on aurait dépassé le million de cas.

C’est vertigineux et ça montre à quel point un virus peut déraper rapidement si on ne prend pas de mesures. C’est impressionnant, mais ce modèle reste très simplifié.

Il suppose que : • Chaque personne infecte exactement 2 autres, • Il n’y a aucune guérison, • Et que la population est infinie. Ce n’est pas réaliste à long terme, mais ça montre bien la puissance de la croissance virale. II.

Les fonctions exponentielles : une modélisation plus fluide Dans la réalité, les infections ne se produisent pas à des moments fixes.Elles se propagent en continu, à chaque instant.

C’est là que les fonctions exponentielles interviennent.

Contrairement aux suites discrètes, les fonctions exponentielles modélisent une croissance continue dans le temps, ce qui reflète plus fidèlement la nature réelle de la propagation d’une infection. Prenons un exemple :f(t) = 100 × e^(0,2t) où : • t est le temps en jours, • f(t) est le nombre de cas à l’instant t, • 0,2 est le taux de croissance, soit environ 20% de nouveaux cas par jour, • 100 correspond au nombre initial de cas. Faisons quelques calculs : • f(0) = 100 × e⁰ = 100 cas, • f(5) ≈ 100 × 2,7 = 270 cas, • f(10) ≈ 100 × 7,4 = 740 cas. En 10 jours, le nombre de cas est multiplié par plus de 7. Cette croissance exponentielle est parfois difficile à saisir.Une bonne image, c’est la boule de neige : elle grossit un peu au début, puis de plus en plus vite, jusqu’à devenir énorme. Ce type de croissance est d’autant plus dangereux qu’il est souvent sous-estimé.

On pense qu’on a encore le temps d’agir, mais en réalité, chaque jour compte.

C’est pour ça que les autorités sanitaires insistent souvent sur l’importance de réagir vite : car ce qu’on ne fait pas aujourd’hui, on risque de le payer dix fois plus demain. Mais ce modèle suppose encore que le virus a toujours autant de personnes à contaminer.Il ne prend pas en compte les guérisons, ni le fait qu’à un moment donné, presque tout le monde a déjà été infecté.C’est pourquoi on a besoin d’un modèle encore plus précis… III.

Les équations différentielles : un modèle réaliste avec SIR Pour mieux modéliser une épidémie, les scientifiques utilisent les équations différentielles.Mais qu’est-ce qu’une équation différentielle ?C’est une équation qui décrit comment une quantité évolue dans le temps, plutôt que de donner directement sa valeur. Prenons le modèle SIR, très utilisé en épidémiologie.On divise la population en trois groupes : • S(t) : les personnes susceptibles d’être contaminées, • I(t) : les infectés, • R(t) : les rétablis ou retirés, c’est-à-dire ceux qui ne peuvent plus transmettre la maladie. Ce modèle permet de prédire quand l’épidémie atteindra son pic, combien de personnes seront touchées, et surtout l’impact des mesures de prévention comme la vaccination ou l’isolement. On suppose que la population totale reste constante :N = S(t) + I(t) + R(t) Ce modèle utilise deux paramètres importants : • β (bêta), le taux de contagion, • γ (gamma), le taux de guérison. Explications des paramètres β et γ • Le paramètre β, le taux de contagion, mesure la vitesse à laquelle le virus se transmet.

Il dépend à la fois.... »