grand oral maths: Grand Oral – Les probabilités et les QCM… si on n’a pas révisé

« Grand Oral – Les probabilités et les QCM… si on n’a pas révisé Introduction Ma prof de physique de première m’a raconté son expérience avec son prof de fac qui a dit a sa classe que leurs résultats étaient tellement catastrophiques qu’ils auraient du répondre au hasard ils auraient eu plus de chance. Concours polytech Avez-vous déjà été tenté, lors d’un QCM, de répondre totalement au hasard… en espérant que la chance vous sauve ? Et si oui… quelle est réellement cette chance ? Peut-on vraiment espérer obtenir la moyenne à un contrôle sans avoir révisé, juste avec un peu de chance et quelques prières ? C’est ce que je vais explorer aujourd’hui : les probabilités et les QCM si on n’a pas révisé. Ce sujet peut sembler léger, voire amusant, mais il cache en réalité des mécanismes mathématiques puissants. À travers cette présentation, nous allons modéliser ce type d’évaluation, comprendre les facteurs qui influencent nos chances de réussite, et voir comment les mathématiques permettent de quantifier cette chance, ou plutôt cette illusion de chance. 1.

Paramètres d’un QCM Un QCM (questionnaire à choix multiple) se caractérise par plusieurs éléments : • n : le nombre de questions, • k : le nombre de propositions par question, • r : le nombre de bonnes réponses à cocher, • La règle de notation : gain de +1 point si c’est juste, 0 si faux… ou parfois même −0,5 en cas d’erreur (c’est ce qu’on appelle une pénalisation). Pour notre étude, on commence par un QCM simple : • 20 questions (n = 20), • 4 propositions par question (k = 4), • 1 seule bonne réponse à cocher (r = 1), • Notation : +1 bonne réponse, 0 mauvaise. Et bien sûr… aucune révision. 2.

Répondre au hasard : un modèle de Bernoulli Lorsqu’on répond au hasard, on peut modéliser chaque réponse comme une épreuve de Bernoulli, c’est-à-dire une expérience aléatoire à deux issues : • Succès (bonne réponse) avec une probabilité de 1/4, • Échec (mauvaise réponse) avec une probabilité de 3/4. On répète cette expérience n = 20 fois, une fois par question. Cela revient à une loi binomiale B(n=20, p=1/4). La variable aléatoire X, nombre de bonnes réponses, suit cette loi. 3.

Espérance de points obtenus L’espérance mathématique, notée E(X), est le nombre moyen de points qu’on peut espérer. Dans notre exemple : E(X) = n × p = 20 × 1/4 = 5 points. Donc, si vous répondez totalement au hasard à un QCM à 4 choix, vous pouvez espérer 5/20 en moyenne. Pas génial.

Mais ce n’est pas tout… 4.

L’impact des pénalités Supposons maintenant qu’on applique une pénalité de −0,5 point par mauvaise réponse. Alors pour chaque question : • 1/4 de chance de gagner.... »