Grand oral maths: Comment les mathématiques façonnent-elles le fonctionnement des élections et permettent-elles d'en comprendre les enjeux ?

« Comment les mathématiques façonnent-elles le fonctionnement des élections et permettent-elles d'en comprendre les enjeux ? Avez-vous déjà réfléchi à l'impact des mathématiques sur un domaine aussi humain que la politique? À première vue, ces deux domaines semblent opposés : l'un dominé par les raisonnements et les chiffres, l'autre par les opinions et les débats.

Pourtant, les mathématiques jouent un rôle crucial dans les élections, influençant à la fois leur fonctionnement et leur compréhension. Comment les mathématiques façonnent-elles le fonctionnement des élections et permettentelles d'en comprendre les enjeux ? Après avoir décrit comment les mathématiques pouvaient modéliser les différents modes de scrutin, nous nous pencherons au problème des biais et incertitudes des sondages. I ) Comment les mathématiques dérivent-elles nos modes de scrutin ? 1.

Le scrutin uninominal majoritaire direct à deux tours Je vais maintenant commencer par définir notre mode de scrutin actuel : Uninominal= voter pour une seule personne Direct= vote sans intermédiaire Le scrutin majoritaire repose sur un principe simple : les citoyens votent pour un seul candidat et les deux candidats ayant obtenu le plus grand nombre de voix lors du premier tour sont sélectionnés.

Les citoyens sont ensuite invités à revoter une seconde fois pour un des deux candidats qui sera alors élu à la majorité absolue (plus de 50% des voix). On peut modéliser le 2° tour de ce mode de scrutin par la loi binomiale, en supposant que chaque vote est indépendant et que chaque électeur vote avec la même probabilité p pour un candidat donné : Où : X est la v.a qui comptabilise le nombre de personnes ayant voté pour un candidat en particulier et qui suit la loi binomiale B (n; p). n est le nombre de votants ou un échantillon k est le nombre de personnes ayant voté pour ce candidat p est la probabilité qu'un électeur vote pour un candidat donné (déterminée dans les sondages) En utilisant cette formule, on peut calculer la probabilité qu'un candidat obtienne ou dépasse un certain nombre de voix parmi tous les votants, ou un échantillon. Les limites de ce modèle : Bien que simple et facile à organiser, le vote majoritaire néglige complètement la position des électeurs n'ayant pas voté pour le candidat qui est élu, ce qui n'est pas représentatif du choix de tous les électeurs. 2.

Le scrutin proportionnel Si les élections se déroulent selon un système de vote proportionnel, les sièges au parlement sont répartis en fonction du pourcentage de votes reçus par chaque parti. Ainsi, le système de vote proportionnel permet une représentation plus fidèle des préférences des électeurs et évite une sous-représentation des partis politiques.

Ce mode de scrutin est le plus souvent utilisé pour choisir les représentants au sein d'une assemblée exerçant des fonctions législatives. Les limites de ce modèle : Ce modèle vise à représenter le plus de partis possible et ainsi permet que tous les opinions politiques des citoyens soient pris en compte.

Pour autant cela peut aussi amener à une instabilité avec trop d'opposition. 3.

Le vote alternatif Le vote alternatif est utilisé dans certains pays comme l'Australie.

D'après ce mode de scrutin, chaque électeur se rend aux urnes et classe tous les candidats par ordre de préférence.

Pour obtenir le siège, les candidats doivent obtenir une majorité absolue de voix.

Au premier tour, on regarde la première ligne et on calcule le pourcentage des votes que chaque candidat a récolté. Si aucun des candidats n'obtient de majorité absolue, alors le candidat qui a reçu le moins de premiers choix est éliminé et les deuxièmes choix inscrits sur ces bulletins de vote sont attribués aux candidats restants.

On procède ainsi jusqu'à ce que l'un des candidats obtienne la majorité absolue. Exemple: Prenons 3 candidats, disons Mélenchon, Macron et Marine Le Pen.

Imaginons que les résultats des classements du premier tour soient : 35% : Macron > Marine Le Pen > Mélenchon 33 %: Mélenchon > Macron > Marine Le Pen 32% : Marine Le Pen > Mélenchon > Macron On aurait donc Macron classé premier par 35% des électeurs, puis Mélenchon par 33% et enfin 32 % Marine Le Pen, ce qui l'éliminerait. En redistribuant les votes de 32% des électeurs ayant voté Marine Le Pen au deuxième candidat de leur classement, les 32% reviendraient à Mélenchon, ce qui ferait gagner Mélenchon et perdre Macron, alors qu'initialement, Macron était classé premier par une majorité relative.

On soulève là un paradoxe, énoncé par Kenneth Arrow, économiste américain, en 1951.

Il propose son théorème d'impossibilité qui montre les limites d'un tel mode de scrutin et énonce que l'élimination d'un candidat peut modifier le résultat final. De plus, même s'il permet aux électeurs d'exprimer de manière beaucoup plus riche leurs préférences, il n'est pas si simple à comprendre pour les électeurs.

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