Grand oral intégrales de Wallis

« Grand Oral Maths : Intro : Bonjour à toutes et à tous. Pour ce Grand Oral, vous avez choisi que je vous parle des intégrales de Wallis et de leur rôle dans l’approximation de π, ce nombre fascinant qu’on retrouve aussi bien en géométrie qu’en physique, en probabilité ou en informatique. Pour rendre cela plus accessible, j’ai préparé un document support que vous pouvez suivre à droite de l’image.

Je vais m’appuyer dessus pour rendre l’explication plus simple à comprendre. Point Historique : Commençons par un petit point historique, John Wallis était un mathématicien anglais, né en 1616 et mort en 1703. C’est une période très riche pour les sciences : Galilée vient de poser les bases de la physique moderne, Newton et Leibniz sont sur le point d’inventer le calcul différentiel, et les savants commencent à formaliser les mathématiques telles qu’on les connaît aujourd’hui. Wallis, lui, joue un rôle fondamental dans la transition entre les mathématiques géométriques des Grecs anciens et les mathématiques analytiques modernes. Il est considéré comme l’un des précurseurs du calcul intégral, bien avant que les notations ne soient standardisées. D’ailleurs, c’est à lui que l’on doit le symbole de l’infini, ce fameux huit couché.

Cette notation naît de l’intéret grandissant des sommes et produits infinis. Il était aussi très actif dans les débats intellectuels de son temps : il échangeait avec Isaac Newton, et était contemporain de Leibniz, qui, lui, introduira un peu plus tard le symbole ∫ pour l'intégrale, une sorte de S allongé représentant la somme continue d’une quantité. Wallis n’était pas qu’un théoricien, il s’est aussi intéressé à la cryptographie, à la linguistique, à la musique, et même aux problèmes pratiques de l’époque comme le calcul de trajectoires ou de surfaces. Les intégrales de Wallis, qu’il introduit dans un ouvrage de 1655 lui permette de découvrir en étudiant ces intégrales que l’on peut faire apparaître le nombre π, sans faire intervenir explicitement un cercle ce qui est révolutionnaire à l’époque. Définition des intégrales de Wallis : Les intégrales de Wallis sont les termes de la suite (Wn) définie pour tout entier naturel n par Wn = à l’intégrale de 0 à pi/2 de sin(x) à la puissance n dx.

La fonction sinus étant comprise entre 0 et 1 sur l’intervalle [0;pi/2] , une intégrale de Wallis permet donc de calculer l’aire entre la courbe de la fonction sinus à la puissance n, l’axe des abssisses et des ordonnées et la droite d’équation x=pi/2. Chaque valeur obtenue constitue une suite, que l’on note W zéro, W un, W deux, etc. Par exemple : • La première valeur, W zéro, donne pi/2 • La deuxième, W un, vaut exactement 1. • W deux, donne pi/4 • Et la suivante, W trois, vaut deux tiers. On remarque tout de suite la constante pi apparaître dans les premiers termes de la suite. On a aussi des valeurs plutôt décroissantes, mais cela ne suffit pas pour affirmer que la suite l’est aussi.

C’est pour cela que nous allons nous intéresser à la différence entre Wn+1 – Wn : En utilisant la linéarité de l’intégrale, on peut factoriser par sin(x) exposant n et on obtient que Wn+1–Wn est égale à l’intégrale de 0 à pi/2 de sin(x) à la puissance n facteur de sin(x) – 1 dx. Sur l’intervalle [0 ; pi/2 ] , le sinus était inférieur ou égale à 1 on a donc, sous cette intégrale, une fonction négative et d’après la propriété de la positivité de l’intégrale, Wn+1–Wn est négatif ainsi la suite ( Wn ) est décroissante. De plus, sin(x) à la puissance n est strictement positif sur [0;pi/2] , ainsi la suite (Wn) est une suite de termes positif, elle est donc minorée par 0 et d’après le théorème de convergence monotone, on peut dire que la suite (Wn) converge Relation de récurrence : Wallis remarque un lien entre les termes Wn+2 et Wn comme on peut le voir sur les premieres valeurs.

Il va donc essayer d’établir une relation de récurrence, c’est-à-dire une formule qui relie un terme de la suite à un autre. Pour ça, il trouve un lien entre Wn+2 et Wn.

Wn+2 c’est donc l’intégrale de 0 à pi/2 de sin(x) puissance n+2 dx. Ensuite, à l’aide de la relation de la trigonométrie qui dit que sinus au carré égale à un moins cosinus au carré, on peut partager une nouvelle fois notre intégrale en deux parties graçe à la linéarité de l’intégrale et.... »