GRAND ORAL DE MATHS : Sujet : Comment les mathématiques peuvent-elles nous aider à survivre dans le jeu Squid Game ?

« GRAND ORAL DE MATHS : Sujet : Comment les mathématiques peuvent-elles nous aider à survivre dans le jeu Squid Game ? Introduction Bonjour, je m'appelle Lilou, et aujourd'hui, je vais vous emmener dans un univers où les mathématiques peuvent faire la différence entre la vie et la mort...

littéralement.

Non, ce n'est pas un thriller hollywoodien ou un rêve de prof de maths en détresse.

C’est Squid Game. Alors oui, Squid Game, cette série sud-coréenne au succès planétaire qui a cartonné sur Netflix. Vous en avez forcément entendu parler.

Des gens désespérés, surendettés, qui s’affrontent dans des jeux d’enfants mortels pour tenter de gagner une somme astronomique.

C’est un peu comme les Jeux Olympiques...

sauf que la médaille d’argent, c’est une chute mortelle.

Plutôt sympa, n’est-ce pas? Mais en regardant cette série, je me suis demandé quelque chose : est-ce que les maths pourraient vraiment nous aider à survivre dans un univers aussi cruel et imprévisible ? Certaines épreuves ne sont-elles basées que sur la chance? Ou peut-on utiliser les probabilités, les statistiques, les lois de bernouilli et binomiale pour maximiser ses chances ? La réponse est étonnamment oui.

Et c’est ce que je vais vous démontrer aujourd’hui à travers deux épreuves emblématiques de la série : 1.

Les dalles de verre : une épreuve aussi intéressante mathématiquement qu’effrayante, où l’on peut appliquer la loi binomiale, l'espérance, l’écart-type, ... 2.

Le jeu des billes : une étude fascinante des stratégies, et des probabilités conditionnelles. Alors, si vous vous êtes déjà demandé quelle place peuvent avoir les maths dans un jeu de vie ou de mort, ou si vous cherchez un moyen de briller devant quelqu’un qui oserait dire que les maths ne servent à rien dans la vie, ce que je m’apprête à vous dire pourrait vous intéresser. Partie 1: Les dalles de verre (probabilités) Présentation du jeu Pour commencer, laissez-moi vous présenter l’une des épreuves les plus emblématiques de cette série : les dalles de verre.

Dans cette épreuve, les candidats doivent tout d’abord choisir un dossard, et ces derniers sont numérotés de 1 à 16.

Ces numéros ne sont pas anodins : ils déterminent l’ordre de passage sur l'épreuve. L’objectif ? Traverser un pont suspendu en 9 étapes.

À chaque étape, le joueur doit choisir entre deux dalles en verre : l’une est en verre trempé et supportera son poids, tandis que l’autre est en verre ordinaire et se brisera si on marche dessus.

Le problème est simple, mais mortel : une mauvaise dalle et c’est la chute fatale. La limite de temps impose aussi une pression énorme : être le dernier à passer n’est pas forcément un avantage, surtout si les premiers hésitent trop. Une épreuve de chance ? Pas que... À première vue, cette épreuve semble uniquement basée sur la chance.

À chaque étape, le joueur a 2 options : gauche ou droite, une chance sur deux d’être sur la bonne dalle. Si on n’a aucune information sur quelles dalles sont sûres, les chances de réussir la traversée sont minces, voire quasi nulles. Mais sous cette apparence, il y a un problème mathématique fascinant. Un modèle mathématique : l’épreuve de Bernoulli Chaque saut est une épreuve de Bernoulli, c’est-à-dire une expérience avec deux issues Succès possibles : : le joueur atterrit sur une dalle en verre trempé qui ne casse pas Échec : le joueur marche sur une dalle qui casse La probabilité de succès pour chaque saut, notée p est 1/2 , car il y a 2 dalles, une sûre, une cassante. Le nombre de sauts, n est de 9. On répète 9 fois de manière identique et indépendante l’épreuve précédente de succès “ le joueur atterrit sur une dalle en verre trempé” et de paramètre p=1/2.

X est la variable aléatoire qui compte le nombre de fois où le joueur atterrit sur une plaque en verre trempé.

X suit donc une loi binomiale de paramètres p=1/2 et n=9. Probabilité brute de traverser Pour réussir la traversée complète, il faut réussir 9 succès consécutifs. La probabilité est donc : Autrement dit, si le joueur traverse à l’aveugle, il a environ 0.2% de chance de s’en sortir vivant. Espérance et écart-type Nous allons étudier plus en détail la réussite d’un joueur aux jeux.

Pour une loi binomiale, l’espérance mathématique E(X) (qui nous permet de calculer le nombre de dalles qu’un joueur peut espérer passer sans tomber) est : Autrement dit, en moyenne, un joueur réussira à passer 4 ou 5 dalles avant de tomber. L’écart-type σ est donné par : Ce qui signifie que, statistiquement, la plupart des joueurs réussiront à passer entre 3 et 6 dalles (environ). Le rôle du dossard : informations progressives Ce qui rend ce jeu vraiment intéressant, c’est qu’il ne s’agit pas que de chance pure : les joueurs qui passent avant vous ont déjà éliminé une part de l’incertitude. Par exemple, le joueur 1, sans aucune info, doit prendre un risque aveugle. Mais il va soit tomber, soit réussir à traverser en notant mentalement quelles dalles sont sûres. Le joueur 2, lui, bénéficie déjà des informations collectées par le joueur 1 : il sait quelles dalles ont cassé ou tenu. On peut dire que le joueur 1 a éliminé 4 ou 5 dalles incertaines (d’après l’espérance). Le joueur 2 arrive donc à la 5ème étape, avec 5 dalles sûres connues. Si le joueur 2 réussit, il élimine encore 4 ou 5 inconnues. Ainsi, après 3 joueurs, environ 10 dalles ont été testées. Effet boule de neige On voit qu’avec cette logique, le 4ème joueur peut arriver dans une situation quasi-déterminée, où il sait quelles dalles sont sûres et lesquelles éviter. Autrement dit, le risque baisse fortement pour les joueurs qui passent plus tard. On pourrait en conclure que, en théorie, 12 à 13 joueurs sur 16 pourraient survivre à cette épreuve, si tous étaient rationnels, méthodiques, et avaient une mémoire parfaite. La probabilité de survie monterait alors à 75%. La limite de temps, facteur clé Dans la série, une limite de temps de 16 minutes est imposée, ce qui bouleverse la logique. Le temps limite oblige les joueurs à prendre des décisions rapides, souvent sous stress, ce qui provoque des hésitations et erreurs. Cela réduit le nombre de joueurs capables de mémoriser parfaitement les dalles sûres. De plus, la compétition pousse certains à prendre des risques inutiles. Conclusion première partie: Pour résumer la partie sur les dalles de verre, on a vu que ce jeu, qui semble d’abord purement basé sur.... »