FONCTION LOGARITHME NEPERIEN

« FONCTION LOGARITHME NEPERIEN I. LIEN AVEC LA FONCTION EXPONENTIELLE Définition : Pour tout réel 𝑎 strictement positif, on appelle logarithme népérien de 𝑎 l’unique solution réelle de l’équation 𝑒 𝑥 = 𝑎, notée ln(𝑎).

Autrement dit : 𝒆𝒙 = 𝒂 ⟺ 𝒙 = 𝐥𝐧(𝒂) Remarque : La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur ℝ et exp(ℝ) =]0 ; +∞[. D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation 𝑒 𝑥 = 𝑎 admet une unique solution 𝑥 = ln(𝑎), pour tout réel strictement positif 𝑎. Remarque : La fonction logarithme népérien est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Propriétés : i) Pour tout réel 𝒙 strictement positif, 𝒆𝐥𝐧(𝒙) = 𝒙. ii) Pour tout réel 𝒙, on a : 𝐥𝐧(𝒆𝒙 ) = 𝒙 Démonstration : i) Soit 𝑥 ∈ ]0 ; +∞[, on a 𝑒 ln(𝑥) = 𝑥 par définition du logarithme népérien de 𝑥. ii) Soit 𝑥 ∈ ℝ.

On a 𝑒 𝑥 > 0.

D’après la première propriété, exp(ln(𝑒 𝑥 )) = exp(𝑥) La fonction exponentielle étant strictement croissante sur ℝ, on a : ln(𝑒 𝑥 ) = 𝑥 Conséquences : i) 𝑒 0 = 1 ⟺ ln(1) = 0 ii) 𝑒 1 = 𝑒 ⟺ ln(𝑒) = 1 Exemple : Résoudre dans ℝ l’équation 𝑒 7𝑥−3 = 4. 4 > 0 donc l’équation admet une unique solution sur ℝ. 𝑒 7𝑥−3 = 4 ⟺ 7𝑥 − 3 = ln (4) ⟺ 7𝑥 = ln(4) + 3 7 Donc : ln(4) + 3 } 7 𝑆={ II. PROPRIETES ALGEBRIQUES Propriété fondamentale (Relation fonctionnelle) : Pour tout réels 𝒂 et 𝒃 strictement positifs, 𝐥𝐧(𝒂𝒃) = 𝐥𝐧(𝒂) + 𝐥𝐧(𝒃) Démonstration : Soient 𝑎 ∈ ℝ∗+ et 𝑏 ∈ ℝ∗+ . 𝑒 ln(𝑎)+ln(𝑏) = 𝑒 ln(𝑎) × 𝑒 ln(𝑏) = 𝑎𝑏 d’après la définition de « ln ». En passant au logarithme : 𝑒 ln(𝑎)+ln(𝑏) = 𝑎𝑏 ⟺ ln( 𝑒 ln(𝑎)+ln(𝑏) ) = ln(𝑎𝑏) ⟺ ln(𝑎) + ln(𝑏) = ln(𝑎𝑏) Exemple : ln(3 × 5) = ln(3) + ln(5) Propriété : Pour tout réel 𝒂 strictement positif, 𝟏 𝐥𝐧 ( ) = −𝐥𝐧(𝒂) 𝒂 Démonstration : Soient 𝑎 ∈ ℝ∗+ 1 1 × 𝑎 = 1 ⟹ ln ( × 𝑎) = ln(1) 𝑎 𝑎 D’après la propriété fondamentale, 1 ln ( ) + ln(𝑎) = 0 𝑎 1 ⟺ ln ( ) = − ln(𝑎) 𝑎 1 Exemple : ln (2) = −ln(2) Propriété (Relation fonctionnelle) : Pour tout réels 𝒂 et 𝒃 strictement positifs, 𝒂 𝐥𝐧 ( ) = 𝐥𝐧(𝒂) − 𝐥𝐧(𝒃) 𝒃 Démonstration : Soient 𝑎 ∈ ℝ∗+ et 𝑏 ∈ ℝ∗+ . 𝑎 1 1 ln ( ) = ln (𝑎 × ) = ln(𝑎) + ln ( ) 𝑏 𝑏 𝑏 Donc d’après les propriétés précédemment établies, on a : 𝑎 ln ( ) = ln(𝑎) − ln(𝑏) 𝑏 5 Exemple : ln (8) = ln(5) − ln(8) Propriété : Pour tout réel 𝒂 strictement positif, pour tout entier naturel 𝒏, 𝐥𝐧(𝒂𝒏 ) = 𝒏 × 𝐥𝐧(𝒂) Démonstration : On pose pour 𝑛 ∈ ℕ : 𝑃𝑛 ∶ « ln(𝑎𝑛 ) = 𝑛 × ln(𝑎) , ∀𝑎 ∈ ℝ∗+ ». Initialisation : ln(𝑎0 ) = ln(1) = 0 et 0 ln(𝑎) = 0 Donc ln(𝑎0 ) = 0 ln(𝑎). Hérédité : On suppose qu’il existe un entier naturel 𝑛 tel que 𝑃𝑛 est vraie c'est-à-dire : ln(𝑎𝑛 ) = 𝑛 × ln(𝑎) Montrons que 𝑃𝑛+1 est vraie, c'est-à-dire : ln(𝑎𝑛+1 ) = (𝑛 + 1) × ln(𝑎) ln(𝑎𝑛+1 ) = ln(𝑎𝑛 × 𝑎) = ln(𝑎𝑛 ) + ln(𝑎) Or par hypothèse de récurrence, ln(𝑎𝑛+1 ) = 𝑛 × ln(𝑎) + ln(𝑎) Donc ln(𝑎𝑛+1 ) = (𝑛 + 1) ln(𝑎). Conclusion : 𝑃𝑛 est vraie au rang 0 et 𝑃𝑛+1 est vraie et héréditaire donc vraie pour tout entier naturel 𝑛. Exemple : ln(73 ) = 3 ln(7). Propriété : Pour tout réel 𝒂 strictement positif, 𝐥𝐧(√𝒂) = 𝟏 𝐥𝐧(𝒂) 𝟐 Démonstration : Soit 𝑎 ∈ ℝ∗+ , 2 (√𝑎) = 𝑎 2 ln ((√𝑎) ) = ln(𝑎) ⟺ 2 ln(√𝑎) = ln(𝑎) ⟺ ln(√𝑎) = 1 ln(𝑎) 2 1 Exemple : ln(√5) = 2 ln(5). Exemples : Exprimer en fonction de ln(2) et ln (3) les nombres suivants : 2 1 ln(6) ; ln ( ) ; ln ( ) ; ln(√12) ; ln(72) 3 12 i) ln(6) = ln(3 × 2) = ln(3) + ln(2). 2 ii) ln ( ) = ln(2) − ln(3). 3 1 1 iii) ln (12) = ln (2×2×3) = −(ln(2) + ln(2) + ln(3)) = −2 ln(2) − ln(3). 1 1 1 iv) ln(√12) = 2 ln(12) = 2 (ln(2) + ln(2) + ln(3)) = 2 (2 ln(2) + ln(3)). v) ln(72) = ln(32 × 23 ) = 2 ln(3) + 3 ln(2). III.

ETUDE DE LA FONCTION LOGARITHME NEPERIEN A. Définition Définition : On appelle fonction logarithme népérien la fonction 𝑓 définie, pour tout 𝑥 ∈ ]0 ; +∞[ par 𝑓(𝑥) = ln(𝑥).

La fonction logarithme népérien est continue sur ]0 ; +∞[. B. Dérivée Propriété : Soit 𝒇 la fonction définie sur ]𝟎 ; +∞[ par 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐧(𝒙). 𝟏 La fonction 𝒇 est dérivable sur ℝ∗+ et 𝒇′ (𝒙) = 𝒙. Démonstration : Soit 𝑎 ∈ ℝ∗+ et 𝑥 un réel différent de 𝑎. 𝜏(𝑥) = ln(𝑥) − ln(𝑎) 𝑥−𝑎 On pose 𝑋 = ln(𝑥) ⟺ 𝑥 = 𝑒 𝑋 𝐴 = ln(𝑎) ⟺ 𝑎 = 𝑒 𝐴 𝑋−𝐴 1 = 𝑋 𝑋 𝐴 𝑒 − 𝑒𝐴 𝑒 −𝑒 𝑋−𝐴 𝜏(𝑥) = Or ln étant continue en 𝑎, quand 𝑥 → 𝑎, ln(𝑥) ⟶ ln (𝑎) donc 𝑋 ⟶ 𝐴. lim 𝜏(𝑥) = lim 1 − 𝑒𝐴 𝑋−𝐴 𝑋⟶𝐴 𝑒 𝑋 𝑥⟶𝑎 Or 𝑥 ⟼ 𝑒 𝑥 est dérivable sur ℝ donc en 𝐴. 𝑒𝑋 − 𝑒𝐴 lim = 𝑒 𝐴 = 𝑒 ln(𝑎) = 𝑎 𝑋⟶𝐴 𝑋 − 𝐴 D’où : lim 𝜏(𝑥) = 𝑥⟶𝑎 1 𝑎 1 Donc 𝑓 est dérivable en 𝑎 et 𝑓 ′ (𝑎) = 𝑎. C. Sens de variation et signe Propriété : La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]𝟎 ; +∞[. 1 1 Démonstration : Pour tout réel 𝑥 ∈ ]0 ; +∞[, 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑥 et 𝑥 > 0 pour 𝑥 ∈ ]0 ; +∞[ donc 𝑓 est croissante sur ]0 ; +∞[. Conséquences : i) Si 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟏, 𝐥𝐧(𝒙) ≤ 𝟎 ii) Si 𝒙 ≥ 𝟏 , 𝐥𝐧(𝒙) ≥ 𝟎 iii) Si 𝒂 ≤ 𝒃, 𝐥𝐧(𝒂) ≤ 𝐥𝐧(𝒃) iv) 𝐥𝐧(𝒂) = 𝐥𝐧(𝒃) ⟺ 𝒂 = 𝒃 Tableau de signe : Exemples : i) Résoudre ln((𝑥 + 3)(𝑥 − 2)) = ln(6) ∶ (𝐸) Condition : (𝑥 + 3)(𝑥 − 2) = 𝑥² − 2𝑥 + 3𝑥 − 6 = 𝑥² + 𝑥 − 6 > 0. Δ = 1 − (−24) = 25 > 0 donc on a : 𝑥1 = −1 − 5 −1 + 5 = −3 ; 𝑥2 = =2 2 2 Donc 𝐷 =] − ∞ ; −3[ ∪ ]2 ; +∞[. (𝐸) ⟺ (𝑥 + 3)(𝑥 − 2) = 6 ⟺ 𝑥 2 + 𝑥 − 12 = 0 ⟺ 𝑥 = 3 ou 𝑥 = −4 {−4 ; 3} ∈ 𝐷 donc 𝑆 = {−4 ; 3} ii) Résoudre ln(𝑥 + 3) + ln(𝑥 − 2) = ln(6) ∶ (𝐸) 𝐷′ = ] − 3; +∞[ ∩ ]2 ; +∞[ = ]2 ; +∞[ (𝐸) ⟺ ln((𝑥 + 3)(𝑥 − 2)) = ln(6) ⟺ (𝑥 + 3)(𝑥 − 2) = 6 ⟺ 𝑥 = 3 ou 𝑥 = −4 Or 𝑥 ∈ 𝐷′ mais −4 ∉ 𝐷′ Donc 𝑆 = {3}. iii) Résoudre ln((𝑥 + 3)(𝑥 − 2)) ≤ ln(6) ∶ (𝐸) (𝑥 + 3)(𝑥 − 2) > 0 pour 𝑥 ∈ 𝐷 =] − ∞ ; −3[ ∪ ]2 ; +∞[. (𝑥 + 3)(𝑥 − 2) ≤ 6 ⟺ 𝑥² + 𝑥 − 12 ≤ 0. Donc ln((𝑥 + 3)(𝑥 − 2)) ≤ ln(6) pour 𝑥 ∈ [−4 ; 3[ ∪ ]2 ; 3]. Attention : 𝐥𝐧(𝒂𝒃) est défini si 𝒂𝒃 > 0. 𝐥𝐧 (𝒂) + 𝐥𝐧(𝒃) est défini si 𝒂 > 0 et 𝒃 > 0. On peut toujours écrire 𝐥𝐧(𝒂) + 𝐥𝐧(𝒃) = 𝐥𝐧(𝒂𝒃) mais 𝐥𝐧(𝒂𝒃) = 𝐥𝐧(|𝒂|) + 𝐥𝐧(|𝒃|). D. Limites 1. En +∞ Propriété : 𝐥𝐢𝐦 𝐥𝐧(𝒙) = +∞ 𝒙→+∞ Démonstration : Soit 𝐴 > 0 ln(𝑥) > 𝐴 ⟺ 𝑒 ln(𝑥) > 𝑒 𝐴 par croissance de la fonction exponentielle sur ℝ. On peut rendre ln(𝑥) > 𝐴 à condition que 𝑥 dépasse 𝑒 𝐴 donc : lim ln(𝑥) = +∞ 𝑥→+∞ 2. En 𝟎 Propriété : 𝐥𝐢𝐦 𝐥𝐧(𝒙) = −∞ 𝒙→𝟎+ Démonstration : On pose tout réel 𝑥 strictement positif : 𝑋= 1 𝑥 1 ln(𝑥) = ln ( ) = − ln(𝑋) 𝑋 lim ln(𝑥) = lim − ln(𝑋) = −∞ 𝑥→0+ 𝑥→+∞ Donc on a : lim ln(𝑥) = −∞ 𝑥→0+ E. Tableau de variations F. Courbe Tangente en 𝐴(1; 0) de coefficient directeur 𝑓 ′ (1) = 1. 1 Tangente en 𝐵(𝑒 ; 1) : 𝑦 ′ = 𝑓 ′ (𝑒)(𝑥 − 𝑒).... »