Espace et plan

« Géométrie dans l’espace Vecteurs coplanaires ou non.

Repères Théorème.Soient− u et − v deux vecteurs non colinéaires.

Soit − w un vecteur.

− u ,− v et − w sont coplanaires si et seulement si il existe deux réels xet ytels que − w =x− u +y− v . Théorème.

Soient− u ,− v et − w trois vecteurs non coplanaires.

Pour tout vecteur − t de l’espace, il existe un triplet de réels (x, y, z )et un seul tel que − t = x− u +y− v +z− w . Dénition.

Un repère de l’espace est un quadruplet O, − i , − j , − k où Oest un point et − i ,− j et − k sont trois vecteurs non coplanaires de l’espace.

Dénition et théorème.

Soit O, − i , − j , − k un repère de l’espace.

Pour tout point Mde l’espace, il existe un triplet de réels (x, y, z )et un seul tel que −− OM =x− i + y− j + z− k .

Le triplet (x, y, z )est le triplet des coordonnées du point M dans le repère O, − i , − j , − k . Dénition analogue pour les coordonnées d’un vecteur − u . Formulaire •Les coordonnées du vecteur − AB sont ( x B x A , y B y A , z B z A ) . • Les coordonnées du milieu I du segment [AB ]sont xA + x B 2 , y A + y B 2 , z A + z B 2 . • Les coordonnées du centre gravité G du triangleABCsont xA + x B + x C 3 ,y A + y B + y C 3 ,z A + z B + z C 3 . • Si − u (x, y, z )et − v (x ′ , y ′ , z ′ ) , alors − u +− v a pour coordonnées ( x + x′ , y +y′ , z +z′ ) et − u a pour coordonnées ( x, y, z ) . Produit scalaire Diérentes expressions du produit scalaire − u − v b b bA B C − u − v − u =− AB − v = − AC − u .

− v = AB × AH . H Si− u 6 = − 0 et − v 6 = − 0 , − u .

− v = k − u kk − v kcos . − u − v Si, dans un repère orthonormal R, le vecteur − u a pour coordonnées (x, y, z ) et le vecteur − v a pour coordonnées ( x ′ , y ′ , z ′ ) , alors − u .

− v = xx ′ + yy ′ + zz ′ . Propriétés du produit scalaire Pour tous vecteurs − u ,− v et − w et tout réel , on a • − u .

− v = − v .

− u . • (− u +− v ).− w =− u .

− w +− v .

− w et− w .

(− u +− v ) = − w .

− u +− w .

− v . • ( − u ).− v = (− u .

− v )et − u .

( − v ) = (− u .

− v ). • Pour tout vecteur − u ,− u .

− u 0. • − u +− v 2 = − u 2 + 2− u .

− v + − v 2 et − u − v 2 = − u 2 2− u .

− v + − v 2 . • − u .

− v = 1 2 − u +− v 2 − u 2 − v 2 . Norme d’un vecteur La norme d’un vecteur − u est k− u k= √ − u .

− u . Si dans un repère orthonormé R,− u a pour coordonnées (x, y, z )alors, − u = √ − u .

− u = x 2 + y2 + z2 . Si dans un repère orthonormé R, les points Aet Bont pour coordonnées (x A , y A, z A) et (x B , y B, z B) alors, la distance de A àB est AB = − AB = ( x B x A )2 + ( y B y A )2 + ( z B z A )2 . c Jean-Louis Rouget, 2012.

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