Correction du BAC BLANC de spécialité mathématiques du 26/03/2026

« Correction du BAC BLANC de spécialité mathématiques du 26/03/2026 Exercice 1 ( 3,5 points ) Partie A 1 1. 𝑢1 = 2 × 30 + 10 = 15 + 10 = 𝟐𝟓 2. 𝑣𝑛+1 = 𝑢𝑛+1 − 20 1 𝑣𝑛+1 = 2 𝑢𝑛 + 10 − 20 avec 𝑢𝑛 = 𝑣𝑛 + 20 1 𝑢2 = 2 × 25 + 10 = 12,5 + 10 = 𝟐𝟐, 𝟓 et 1 𝑣𝑛+1 = 2 (𝑣𝑛 + 20) − 10 1 𝑣𝑛+1 = 2 𝑣𝑛 𝟏 Donc, (𝒗𝒏 ) est géométrique de premier terme 𝒗𝟎 = 𝒖𝟎 − 𝟐𝟎 = 𝟏𝟎 et de raison 𝒒 = 𝟐 . 𝟏 𝒏 Pour tout entier naturel 𝑛, 𝒗𝒏 = 𝒗𝟎 × 𝒒𝒏 = 𝟏𝟎 × (𝟐) 3. 𝟏 𝒏 𝟐 Pour tout entier naturel 𝑛, 𝒖𝒏 = 𝒗𝒏 + 𝟐𝟎 = 𝟏𝟎 × ( ) + 𝟐𝟎 1 𝑛 𝑛→+∞ 2 1 𝑛 produit lim 10 × (2) = 𝑛→+∞ 1 2 −1 < < 1 donc lim ( ) = 0 4. Par 0 et par somme 𝐥𝐢𝐦 𝒖𝒏 = 𝟐𝟎 𝒏→+∞ Partie B 1. 1 2 1 2 1 2 1 2 𝑤1 = 𝑤0 + 𝑢0 + 7 = × 45 + × 30 + 7 = 22,5 + 15 + 7 = 44,5 2.

Pour que la fonction suite renvoie la valeur du terme 𝑤𝑛 , il faut inverser les lignes 5 et 6. 1 𝑛 1 𝑛 3.

a) Pour tout entier naturel 𝑛, on note 𝑃𝑛 la propriété : « 𝑤𝑛 = 10𝑛 (2) + 11 (2) + 34». 1 0 1 0 Initialisation : 𝑤0 = 45 et 10 × 0 × (2) + 11 (2) + 34 = 11 + 34 = 45 donc 𝑃0 est vraie. Hérédité : On suppose qu’il existe un entier naturel 𝑘 tel que 𝑃𝑘 soit vraie, c’est-à-dire 1 𝑘 1 𝑘 𝑤𝑘 = 10𝑘 (2) + 11 (2) + 34 1 1 2 2 1 1 𝑘 (10𝑘 ( ) 2 2 1 𝑘+1 On a 𝑤𝑘+1 = 𝑤𝑘 + 𝑢𝑘 + 7 , donc 𝑤𝑘+1 = 𝑤𝑘+1 = 10𝑘 (2) 𝑤𝑘+1 = 10(𝑘 + 1 𝑘 1 𝑘 1 + 11 (2) + 34) + 2 (10 × (2) + 20) + 7 1 𝑘+1 + 11 (2) 1 𝑘+1 1) ( ) 2 + 1 𝑘+1 + 17 + 10 (2) 1 𝑘+1 11 ( ) 2 + 34 + 10 + 7 Donc 𝑃𝑘+1 est vraie. Conclusion : 𝑃𝑛 est vraie pour 𝑛 = 0 et.... »