Peut-on prédire la réussite d’un penalty grâce aux probabilités ?

« Bonjour, je m'appelle XXX, je suis passionné de football, et aujourd'hui je vais vous montrer comment un geste aussi simple qu’un penalty peut révéler toute la puissance et les limites des mathématiques. Ce sujet m’a intéressé car il combine deux domaines qui me passionnent : les mathématiques, que j’étudie en spécialité, et le football, que je pratique en club.

J’ai voulu comprendre si ce sport, si émotionnel, pouvait aussi être analysé rationnellement.

Et surtout, si on pouvait réellement "prévoir" ce qui semble imprévisible. Imaginez : une finale de Coupe du monde, 120 minutes de jeu, et tout se joue sur un penalty… À ce moment-là, est-ce encore du hasard, ou les mathématiques peuvent-elles nous aider à prédire l’issue ? Ma question est : Peut-on prédire la réussite d’un penalty grâce aux probabilités ? régi par le hasard… ou par les mathématiques ? Pour y répondre dans un premier temps je vais 1.

En expliquant comment modéliser un penalty avec les probabilités. 2.

En montrant comment les probabilités aident à optimiser ou prévoir les chances de réussite. 3.

En discutant des limites de cette approche mathématique. I.

Modéliser un penalty avec les probabilités Un penalty est une expérience aléatoire avec deux issues succès (but marqué) ou échec (but raté).

On définit une variable aléatoire X : X = 1 si le joueur marque, X = 0 s’il rate. Je suppose que tous les tirs sont cadrés, c’est-à-dire que le ballon va vers le but.

Un penalty raté correspond à un arrêt du gardien.

Cela me permet de mieux modéliser l’action en termes de probabilités. Cette variable suit une loi de Bernoulli de paramètre p.  La loi de Bernoulli de paramètre p ∈ [0,1] est une loi qui modélise une expérience à deux issues : succès (proba p) ou échec (1-p). D’après les statistiques de la FIFA datant de 2022), le taux de réussite moyen des penaltys dans les grandes compétitions est d’environ 75 %. Cela veut dire que p = 0,75.

Si un joueur tire plusieurs penaltys, on modélise cela avec une loi binomiale.  Une loi binomiale modélise la répétition de n expériences indépendantes suivant une loi de Bernoulli.

On note : X ~ B(n ; p). Prenons un exemple Probabilité de réussir au moins 4 tirs sur 5 avec p = 0,75 ? P(X ≥ 4) = P(X = 4) + P(X = 5) Formule : P(X = k) = C (n, k) * p^k * (1 - p)^(n-k) P(X ≥ 4) = P(X = 4) + P(X = 5) = 5 × (0,75)^4 × (0,25) + (0,75)^5 ≈ 0,395 + 0,237 = 0,632 → Environ 63 % de chances de réussir au moins 4 tirs sur 5. On peut aussi s’intéresser au nombre moyen de tirs réussis, ce qu’on appelle l’espérance mathématique. Par exemple, si un joueur tire 10 penaltys avec une probabilité de réussite de 0,75, alors l’espérance est : E(X) = n × p = 10 × 0,75 = 7,5 → Cela signifie qu’en moyenne, il réussira 7 ou 8 tirs sur 10. Cette moyenne permet aussi aux entraîneurs de comparer les performances de plusieurs joueurs.

Par exemple, si deux joueurs ont les mêmes taux de réussite mais des styles très différents, l’analyse statistique permet de mieux choisir qui tirera en priorité lors d'une séance de tirs au but.

Cela montre que l’espérance mathématique ne sert pas qu’en théorie, mais aussi en stratégie sur le terrain. II.

Optimiser les chances avec les probabilités Les clubs utilisent des statistiques pour repérer les zones préférées des tireurs. Par exemple : 28 % des tirs vont à gauche, 26 % à droite, 46 % au centre.

Étude de Bar-Eli et Azar (2009) sur plus de 1 400 penaltys professionnels.

Les probabilités permettent d’analyser les comportements et d’anticiper les choix. Mais attention si tout le monde réagit aux mêmes stats, le jeu devient prévisible.

C’est là qu’intervient la théorie des jeux, notamment les travaux du mathématicien John Nash. Le penalty comme un jeu stratégique On peut voir le penalty comme un jeu à somme nulle :  Si le tireur marque, le gardien perd.  Si le gardien arrête, c’est le tireur qui perd. Chacun a 3 choix.... »