maths suite exo corrigé RECURRENCE ET FONCTION EXPONENTIELLE CORRIGE

« RECURRENCE ET FONCTION EXPONENTIELLE CORRIGE Exercice 1 1- f est dérivable sur [0 ;10] 1 1  x  [0 ;10], f’(x) =  2x + 1,1 = x + 1,1 40 20 1 f’(x) > 0  x + 1,1 > 0 20 1 x > - 1,1 Donc  x  [0 ;10], f’(x) > 0 20 - 1,1 x< Donc f est strictement croissante sur [0 ;10] 1 20  x < 22 2- Soit P(n) la proposition « 0  vn  4 » Initialisation : On va montrer que P(0) est vraie v0 = 1 et 0  1  4 donc P(0) est vraie. Hérédité : Supposons que pour un entier naturel k, P(k) est vraie (c’est-à-dire 0  vk  4) On veut montrer qu’alors P(k+1) est vraie (c’est-à-dire 0  vk+1  4) 0  vk  4  f(0)  f(vk)  f(4)  0  vk+1  4 car f est strictement croissante sur [0 ;10] car pour tout n IN, vn+1 = f(vn) et f(0) = 0 et f(4) = - 4² + 1,1  4 = 4 40 Donc P(k + 1) est vraie Conclusion : P(0) est vraie et P(n) est héréditaire, donc P(n) est vraie pour tout entier naturel n. Donc  n  IN, 0  vn  4 3- 1ère méthode : récurrence Soit P(n) la proposition « vn  vn+1 » Initialisation : On va montrer que P(0) est vraie 1 43 V0 = 1 et v1 =  v0 + 1,1  v0 = = 1,075 40 40 Donc v0  v1 Donc P(0) est vraie Hérédité : Supposons que pour un entier naturel k, P(k) est vraie (c’est-à-dire vk  vk+1) On veut montrer qu’alors P(k+1) est vraie (c’est-à-dire vk+1  vk+2) vk  vk+1  f(vk)  f(vk+1) car f est strictement croissante sur [0 ;10] et vk  [0.... »