loi des grands nombres
Publié le 08/06/2025
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«
Concentration, loi des grands nombres
Énoncé
Partie 1.
Application directe
Le nombre de pièces sortant d'une usine en une journée est une variable aléatoire d'espérance m = 50 et de variance σ2 = 25.
On veut
estimer la probabilité que la production, un jour donné, dépasse 75 pièces.
Partie 2.
Intervalle de confiance obtenu avec l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
Un institut de sondages décide de mener une enquête concernant une élection pour laquelle deux candidats A et B se présentent.
On
suppose, pour simplifier les choses, que chaque individu sondé répond A ou B, à l'exclusion de toute autre réponse, et que le collège
électoral est suffisamment grand pour que les réponses soient considérées comme mutuellement indépendantes.
La taille de l'échantillon
choisi pour faire le sondage est ∈ ℕ∗ et, pour chaque individu i de l'échantillon, on appelle Xi la variable aléatoire égale à 1 si la
réponse est favorable à A, et 0 sinon.
Chaque variable Xi est une variable de Bernoulli de paramètre p inconnu que le sondage souhaite
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
bien sûr estimer.
Les variables sont indépendantes.
On pose
= ∑ =1
et
=
.
1.
Quelle est la loi suivie par Sn ? Que représente
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
? Calculer
(
) et
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
(
).
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
∈ ]0 ; 1[ ,
2.
Montrer que quel que soit
.
3.
Déduire de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev que quel que soit t > 0,
.
4.
Soit
=
1
2√0,05
> 0 , on a donc :
.
On dit que [
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
−
1
2√0,05
;
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
+
1
2√0,05
] est un intervalle de confiance au niveau de confiance 95 %.
Un intervalle de confiance est
1
est réalisée et donne la valeur f, l'intervalle [ −
;
2√0,05
qui n'est plus aléatoire est appelé une estimation de p par un intervalle de confiance au niveau de confiance 95 %.
donc un intervalle aléatoire.
Dès que la variable aléatoire
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
+
1
2√0,05
]
a.
On suppose que n = 1000 et que les questionnaires indiquent que 520 personnes sont favorables....
»
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