LOGIQUE ET MATHEMATIQUES

« , LOGIQUE El MATHEMATIQUES Les princ�aux sujets qui portent sur la logique et _f es mathématiques �o � � wsent essentiel­ lement à s'interroger sur la nature exacte de la pensee que ces deux dtsaplmes mettent en œuvre, ainsi que sur les rapports qu'elles entretiennent l'une avec l'autre.

■ La logique est l'étude des conditions formelles de la vérité. Elle ne conce�U@ que les conditions de validité du �;G_WUU@S@Ua, sa cohé�@U=@ inte�U@ son acco�> avec les lois de la pensée.

Elle ne s'intéresse donc pas à la vérité maté�F@KK@ des propositions, à leu� accord avec la �q;KFaq objective. ■ Lewis Ca�oll, auteu� d'une très sé�F@c_@ Logique sans peine, p�WYW_@ le �;G_WUU@S@Ua suivant : « Tous les chats comp�@UV@Ua le français. [Or] Quelques poulets son� des chats. [Donc] Quelques poulets comprennent le français." Ce raisonnement est logique, bien qu'aucune de ses p�WYW_FaGWUs ne puisse être dite vraie, si l'on donne aux mots leu� sens habi­ tuel.

C'est que « le fait que la conclusion est, ou n'est pas, consé­ quente aux prémisses (p�WYW_FaGWU_ initiales), ne dépend en �F@n de la véracité ou de la fausseté �q@MK@ de l'une quelconque des p�WYW_GaFWV_# elle dépend totalement et uniquement de leu� relation mutuelle.» ( Op.

cit., 1896, t�;> fr., HERMANN, pp.

122-123.) LE SYLLOGISME Le syllogisme est le �;G_WUU@S@Ua par lequel, de deux proposi­ tions données (p�qSG``@_ on ti�@ une conclusion qui en est la conséquence nécessaire.

Le �;G_WUU@S@Ua de Lewis Ca�oll, est une so�a@ de syllogisme.

La théo�F@ du fonctionnement du syllogisme p�WYW_q@ par Aris­ tote, c'est-à-dire la définition des �pDK@_ qu'il doit �@_Y@=a@ pour opé�@ une déduction valide, a longtemps été considérée comme une élabo�;aFWU définitive de la logique.

Kant, à la fin du XVIII' siècle, l'estime enco�@ parfaitement achevée.

On pense alo�_ que la logique est distincte des mathématiques, qu'elle est « le vestibule des sciences» (Kant), y compris des sciences mathématiques, ou leu� «g�;SS;G^@m ■ Mais le t�;Fa@S@Ua mathématique de la logique d'A�G_aWa@, tel que le pratique d'abo�> Boole au XIX' siècle, sa formalisa­ tion systématique, c'est-à-dire l'usage de symboles �GDWc[@cg et d'opé�;aGWU_ inspirées pa� le raisonnement algébrique, conduisent peu à peu à découv�G[ que la théo�F@ du syllogisme n'est qu'une partie de logiques beaucoup plus vastes et fécondes (l'algèb�@ des classes, la logique des relations). « A l'origine, la logique est une réflexion sur les opérations effectives de la pensée.

Elle analyse nos raisonnements usuels, tels qu'ils se pr�)=L)=L dans leur expression verbale, pour dégager les règles qui assurent leur v�lidité.

Mainte­ nant, ( ...

) la logique a rompu le lien qui l'attachait aux logos.

A la limite, elle délaisse le logos-raison et même le logos-langage, pour ne plus s'intéresser qu'au logos-calcul.

Elle fait abstraction, non seulement de tout contenu empiri­ que, mais aussi du sens logique de ses symboles, pour ne s'occuper que de la manière de les combiner et de transformer ces combinaisons.» (R.

BI.ANCHÉ, Introduction à la Logique contemporaine, 1957, A.

Colin, pp.

18-19.) La logique, en se mathématisant, paraît ainsi s'éca�a@[ des st�c=­ tures du langage dont elle est histo�GZc@S@Ua et étymologique­ ment issue : « La logique est devenue inséparable des mathémati­ ques ( ...

) avec lesquelles elle inte�Ap[@ selon des relations de plus en plus nombreuses.» (Piaget.) Inversement, les mathématiques se rapprochent de la logique au cou�_ de leu� développement, au point qu'il paraît difficile aujourd'hui de défini� clairement leurs frontiè�@_ On peut parler de « pensée logico-mathématique ».

, NAISSANCE DES MATHÉMATIQUES On s'acco�>@ à di�@ que les mathématiques sont nées en G�p=@ Certes, d'autres civilisations, avant celle-ci, firent usage de mesu­ res ou de calculs, mais elles ne pa�;G__@Ua pas avoi� inventé la démonstration mathématique.

Les p�@SGp[@_ démonstrations de théo�pS@_ géométriques (par Thalès, Pythago�@ etc.) étaient indépendantes les unes des autres.

Euclide, au me siècle avant J.-C., unifia toutes ces décou­ ve�a@_ en les intég�;Ua dans un système unique dont toutes les propositions (théo�pS@_ pouvaient êt�@ logiquement déduites de quelques proposition p�@SGp[@_ : ■ Des axiomes ou propositions tenues pour évidentes par elles­ mêmes (le tout est plus grand que la partie, pa� exemple). ■ Des postulats (litté�;J@S@Ua des «demandes») non évidents mais nécessai�@_ pou� dédui�@ ce�a;GU_ théorèmes (par exemple le postulat des pa�;JJpJ@_. LES MA THÉMATIQUES COMME SCIENCE Le ca�;=ap^@ pa�AWG_ peu rigou�@cg de certaines démonstrations, qui faisaient appel à d'aut�@_ «évidences» que celles posées ini­ tialement, et la présence de postulats (non évidents) ne met­ taient pas en cause la vé�Gaq des théo�pS@_ En effet, les pro­ priétés qu'ils énonçaient étaient considé�q@_ comme les proprié­ tés d'être mathématiques, qui s'imposaient à l'esp�Ga. »