logarithme.

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logarithme. n.m., fonction transportant la structure multiplicative des nombres réels
positifs sur la structure additive des nombres réels. Les logarithmes ont été introduits au
début du XVIIe siècle pour faciliter les calculs numériques, particulièrement en astronomie.
L'idée essentielle est de ramener une multiplication à une addition, opération nettement plus
simple. Pour calculer pratiquement une « table » de logarithmes, on mettait alors en
correspondance une suite arithmétique et une suite géométrique, en effectuant des
interpolations entre leurs termes. Des calculateurs comme John Neper et Johannes Kepler
ont pu ainsi réaliser des tables à 7 ou 10 décimales.

Logarithme népérien.
On est conduit à chercher une fonction f satisfaisant à la relation (1) f (xy) = f(x) + f(y)
pour tous les x, y strictement positifs. Il existe une telle fonction continue f déterminée à
un facteur près : cette fonction est une primitive de

s'annulant pour

:

où k est un nombre réel non nul.
En choisissant pour k la valeur la plus simple possible, à savoir k = 1, la fonction f ainsi
obtenue s'appelle fonction logarithme népérien (ou logarithme, lorsque aucune confusion
n'est à craindre) et se note ln. (Les anciennes notations L, Log et log sont aujourd'hui
déconseillées.) On a, par définition,

. Le logarithme népérien est une bijection

strictement croissante de u+* sur u. En particulier, l'équation (x) = 1 admet une solution
et une seule, appelée nombre de Neper et notée e. Approximativement : e »
2,718 281 828 459.

Propriétés fondamentales.
La relation (1) exprime que la fonction logarithme est un morphisme du groupe multiplicatif
u+* sur le groupe additif u. Il en découle que le logarithme d'un quotient est la différence

des logarithmes du numérateur et du dénominateur :

En particulier,
On déduit par récurrence de la relation (1) que, pour tout entier naturel n,
ln x

n

= n ln x.

On montre aussi que

Logarithme décimal.
Du début du XVIIe siècle jusqu'à l'apparition des ordinateurs au milieu du XXe siècle, les
calculs numériques étaient effectués à l'aide de tables de logarithmes. Étant donné le rôle
privilégié joué par la numération décimale, il était logique d'utiliser les logarithmes
décimaux, adaptés à la base 10. Les logarithmes décimaux sont liés aux logarithmes
népériens par la relation :

Le coefficient

se note M. Approximativement : M » 0,434 29.

Depuis l'apparition des calculatrices de poche, les logarithmes décimaux ne présentent
plus d'intérêt particulier.
Complétez votre recherche en consultant :
Les corrélats
adjacent
alternée (fonction)
approximation
calcul - 1.MATHÉMATIQUES
exponentielle (fonction)
Fechner Gustav Theodor
fonction - 2.MATHÉMATIQUES
fonctionnelle (équation)
interpolation
Neper John
règle à calcul
sciences (histoire des) - La lumière - Les nombres complexes