linéaire (définition mathématique)
Publié le 08/12/2021
Extrait du document
linéaire. adj. MATHÉMATIQUES : qui peut se résumer en une multiplication par un nombre.
De manière élémentaire, une application linéaire est une application du type x _ k.x, où k
est un nombre réel donné et où x est soit un nombre réel, soit un vecteur du plan ou de
l'espace.
La généralisation à des situations où x est dans un espace à n dimensions ou, même, un
espace de fonctions, k étant alors une « matrice » ou un « opérateur fonctionnel », a donné
lieu au développement de l'algèbre linéaire. Cette circonstance a largement universalisé et
accéléré l'étude des méthodes mathématiques de « linéarisation » consistant à approcher
tout phénomène physique, au moins localement, par un modèle linéaire : un accroissement
momentané est ainsi considéré comme proportionnel à certaines variables, une fonction est
approchée par un développement limité, un arc de courbe par sa tangente, etc.
L'algèbre linéaire est ainsi la branche des mathématiques traitant des opérations les plus
simples : addition et multiplication par un nombre. Son développement prodigieux depuis
1950 est dû en partie à l'apparition des ordinateurs : en effet, le calcul électronique permet
d'effectuer une addition ou une multiplication en une durée de l'ordre de quelques
nanosecondes.
Application linéaire.
Soient E et F des espaces vectoriels sur un même corps commutatif K. On dit qu'une
application u de E dans F est linéaire si, pour tout couple (ª, ,) de vecteurs de E et pour
tout couple (a, b) de scalaires,
u (aª + b,) = a . u (ª) + b . u (,).
Cela équivaut à dire que :
u (ª + ,) = u (ª) + u (,)
et u (a ª) = a . u (ª).
L'ensemble des applications linéaires de E dans F est notée » (E,F).
L'image u (E) de E par l'application linéaire u s'appelle encore image de u, et se note
Im(u) ; c'est un sous-espace vectoriel de F. Dire que u est surjective, c'est dire que son
image est F tout entier.
L'ensemble des vecteurs ª d e E tels que u ( ª) = y s'appelle noyau de u e t se note
Ker(u) [du mot allemand Kern] ; c'est un sous-espace vectoriel de E. Pour que u s oit
injective, il faut et il suffit que son noyau soit réduit au vecteur nul de E.
Lorsque l'espace vectoriel E est de dimension finie, il en est de même pour l'image et le
noyau de u ; leurs dimensions sont alors liées par la relation fondamentale et dont les
applications sont multiples :
dim Im(u) + dim Ker(u) = dim E.
Voir matrice et morphisme.
Une équation linéaire est une équation de la forme : u ( ª) = c, où u est une application
linéaire et où c est un élément donné de l'espace d'arrivée F.
Si c = y, on dit que l'équation est homogène, ou « sans second membre » ; l'ensemble
des solutions est alors le noyau de u.
Si c ¹ y, l'ensemble des solutions peut être vide ; mais, s'il existe une solution ª0, toutes
les solutions sont de la forme ª0 + ,, où , appartient au noyau de u. On dit que l'on
obtient toutes les solutions d'une équation linéaire en ajoutant, à une solution particulière,
la solution générale de l'équation sans second membre. Ce type de résultat, très général,
explique la puissance et l'universalité de l'algèbre linéaire ; un tel énoncé résume en effet
aussi bien un important théorème sur les solutions des équations différentielles (linéaires)
que des propriétés essentielles concernant certains « lieux » géométriques en géométrie
classique, en passant par la résolution des systèmes d'équations à plusieurs inconnues.
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Les corrélats
fonction - 2.MATHÉMATIQUES
matrice - 2.MATHÉMATIQUES
morphisme
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