Les suites arithmético-géométriques

« ~ Les suites aritbmético­ géométriques L'essentiel du cours Défin tion • On dit qu'une suite (u.) est une suite arithmético· géométrique s'il existe deux rée ls a et b tels que : u0 étant donné, on a: pour tout ent ier n, u •• , =au.+ b.

• On peut donc calcu ler chaque terme d'une suite arithmético -géométrique en utilisant les coefficients a et b et le terme précédent.

Exemple • En 2000 la populat ion d'une ville éta it de 5 200 habitants.

Chaque année la population augmente de 2 % mais 150 habitants quittent la ville.

On note u0 le nombre d'habitants en 2000 et u.

le nombre d'habitants en 2000 + n.

Démon trons que la suite (u.) est une suite arithmét ico·géométrique .

• On sait qu'une augmentat ion de 2 % correspond à un coefficient de 1 + 2 % = 1,02 .

On a u0 = 5 200 et, pour tout entier naturel n, u •• , = 1,02u .

-150.

• La suite (u.) est donc une suite arithmético -géométrique.

Cos port culiers • Si b = o et a t-o alors la suite est une suite géométrique de raison a.

• Si a= 1 alors la suite est une suite arithmét ique de raison b.

• L'étude d'une suite arithmético-géométrique se ramène à l'étude d'une suite géométrique auxilia ire.

Exercices résolus Exercice 1 Parmi les égalités suivantes laquelle ne décrit pas une suite arithmético · géométrique ? a) u •• , = 0,3Un -15 l,) Un+l = 3Un + 5'1 C) Un>l : Un Corrigé un+1 = 3Un + sn ne représente pas une suite arithmético ·géométrique car elle n'est pas de la forme unn = aun + b avec a et b « fixes » (en effet pour chaque valeur den , sn va avo ir une valeur différente).

la réponse est b).. »