les suites

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Séquence 5-MA40 153
> Suites numériques
Séquence 5-MA40 155
Chapitre 1 > Pour débuter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
A Introduction
B Activité 1 Analyse de l’évolution de cinq populations de bactéries
C Activité 2 Un conte (et compte) oriental
Chapitre 2 > Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
A Suites de nombres. Notations
B Suites arithmétiques
C Suites géométriques
D Utilisation d’un tableur pour calculer les termes d’une suite
Chapitre 3 > Exercices d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
Chapitre 4 > Auto-évaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
A QCM
B Vrai-Faux
Chapitre 5 > Exercices d’approfondissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
Séquence 5-MA40 157
Pour débuter
A Introduction
Très souvent en biologie, en démographie, en économie et dans pas mal d’autres domaines on observe
des résultats chronologiques (journaliers, mensuels, annuels, … etc.) qui nous donnent des listes (ou
suites) de nombres.
C’est à ces suites de nombres que nous allons nous intéresser, pour établir un vocabulaire et des notations
adéquates, et pour repérer deux types de situations particulièrement fréquentes et intéressantes
à étudier.
B Analyse de l’évolution de cinq populations de bactéries
Nous allons essayer d’analyser l’évolution de cinq populations de bactéries différentes sur les dix
premiers jours de leur culture.
Le tableau suivant indique le nombre de bactéries (en milliers) présentes dans leur boîte de culture
chaque jour à 12 heures.
Les valeurs sont indiquées avec quatre chiffres après la virgule, mais certaines ont été arrondies.
Bactéries
Jours
A B C D E
Lundi 10,0000 3,0000 5,0000 10,0000 20,0000
Mardi 10,0500 3,0200 4,6500 9,9700 22,0000
Mercredi 10,0700 3,0400 4,3245 9,9400 24,2000
Jeudi 10,0800 3,0600 4,0218 9,9100 26,6200
Vendredi 10,0400 3,0800 3,7403 9,8800 29,2820
Samedi 10,0900 3,1000 3,4784 9,8500 32,2102
Dimanche 10,0500 3,1200 3,2350 9,8200 35,4312
Lundi 10,0800 3,1400 3,0085 9,7900 38,9743
Mardi 10,1100 3,1600 2,7979 9,7600 42,8718
Mercredi 10,0500 3,1800 2,6021 9,7300 47,1590
On remarque facilement que les populations B et E augmentent constamment, alors que les populations
C et D sont en baisse constante. Quant à la population A, elle change plusieurs fois de sens de variation
(elle est d’abord croissante, puis décroissante, … etc.).
Activité 1
Données numériques
158 Séquence 5-MA40
Nous pouvons également représenter graphiquement l’évolution de ces populations. Par exemple pour
la population A on peut avoir : ou :
Remarquons deux choses sur ces représentations.
Sur le premier graphique, on a relié les points par des segments de droite ; ces segments ne représentent
rien, puisqu’on ne sait pas comment la population a évolué entre deux points consécutifs. Ils servent
juste à mieux voir l’évolution globale de cette population.
Sur le deuxième graphique, on a remplacé le nom (ou l’initiale) de chaque jour par son numéro par ordre
chronologique. C’est une pratique assez courante, qui favorise le repérage et évite certaines ambiguïtés
(par exemple, si l’on observe sur plus de sept jours, on aura plusieurs lundis).
Représentons de la même façon l’évolution des populations B, C, D, et E.
Population B Population C
Population D Population E
Il semble que les points soient alignés dans les quatre cas, mais si l’on relie les deux points extrêmes
de chaque graphique par un segment de droite, la première impression semble fausse pour les populations
C et E.
Voyons par le calcul ce qu’il en est.
Représentations
graphiques
9,98
10,00
10,02
10,04
10,06
10,08
10,10
10,12
Lu Ma Me Je Ve Sa Di Lu Ma Me
9,98
10,00
10,02
10,04
10,06
10,08
10,10
10,12
0 2 4 6 8 10 12
2,95
3,00
3,05
3,10
3,15
3,20
0 2 4 6 8 10 12
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
0 2 4 6 8 10 12
9,6
9,7
9,8
9,9
10,0
0 2 4 6 8 10 12
20
25
30
35
40
45
50
0 2 4 6 8 10 12
Séquence 5-MA40 159
Variation entre 2 valeurs successives
Pour chaque population (sauf A dont les variations sont trop désordonnées) calculons les variations
entre deux valeurs successives.
26,62 – 24,20
Jours B Variations B C Variations C D Variations D E Variations E
1 3,0000 5,0000 10,0000 20,0000
2 3,0200 0,0200 4,6500 - 0,3500 9,9700 - 0,0300 22,0000 2,0000
3 3,0400 0,0200 4,3245 - 0,3255 9,9400 - 0,0300 24,2000 2,2000
4 3,0600 0,0200 4,0218 - 0,3027 9,9100 - 0,0300 26,6200 2,4200
5 3,0800 0,0200 3,7403 - 0,2815 9,8800 - 0,0300 29,2820 2,6620
6 3,1000 0,0200 3,4784 - 0,2618 9,8500 - 0,0300 32,2102 2,9282
7 3,1200 0,0200 3,2350 - 0,2435 9,8200 - 0,0300 35,4312 3,2210
8 3,1400 0,0200 3,0085 - 0,2264 9,7900 - 0,0300 38,9743 3,5431
9 3,1600 0,0200 2,7979 - 0,2106 9,7600 - 0,0300 42,8718 3,8974
10 3,1800 0,0200 2,6021 - 0,1959 9,7300 - 0,0300 47,1590 4,2872
On remarque tout de suite que les variations sont positives pour les populations B et E, et négatives
pour les deux autres. Cela confirme que B et E augmentent constamment, alors que C et D baissent.
On peut également voir que ces variations sont constantes pour la population B (+ 0,02 chaque jour)
et pour la population D (- 0,03 chaque jour). Ce n’est pas le cas pour les deux autres.
Puisque, sur les graphiques, les abscisses des points augmentent d’une unité chaque jour, le fait que
les ordonnées augmentent (ou diminuent) d’une valeur constante chaque jour suffit à prouver que les
points sont sur une droite (voir cours de seconde). C’est donc bien le cas pour les populations B et D.
Ce calcul confirme aussi, par la négative, que les points des graphiques représentant les populations
C et E ne sont pas alignés.
Mais ils semblent quand même suivre une « courbe régulière «.
Voyons, par un autre calcul, qu’il y a effectivement une « régularité « pour les populations C et E.
Variation relative entre 2 valeurs successives
Pour les populations C et E calculons les variations relatives entre deux valeurs successives, c’est à
dire le rapport entre la variation déjà calculée (on parle alors de variation absolue) et la première des
deux valeurs.
C’est en fait le taux d’évolution, tel qu’on l’a défini à la séquence 1.
C Variations C taux d’év. E Variations E taux d’év.
5,0000 20,0000
4,6500 - 0,3500 - 0,07000 22,0000 2,0000 0,10000
4,3245 - 0,3255 - 0,07000 24,2000 2,2000 0,10000
4,0218 - 0,3027 - 0,07000 26,6200 2,4200 0,10000
3,7403 - 0,2815 - 0,07000 29,2820 2,6620 0,10000
3,4784 - 0,2618 - 0,07000 32,2102 2,9282 0,10000
3,2350 - 0,2435 - 0,07000 35,4312 3,2210 0,10000
3,0085 - 0,2264 - 0,07000 38,9743 3,5431 0,10000
2,7979 - 0,2106 - 0,07000 42,8718 3,8974 0,10000
2,6021 - 0,1959 - 0,07000 47,1590 4,2872 0,10000
2 9282
29 2820
,
,
160 Séquence 5-MA40
On constate immédiatement une « régularité «, puisque ces variations relatives sont constantes.
En réalité elles ne le sont pas tout à fait, on pourrait s’en rendre compte en prenant une décimale de
plus, et vous pouvez le constater vous-même en faisant les calculs à la calculatrice. Mais cela est dû au
fait qu’on avait arrondi certaines valeurs dans le tableau initial.
Si l’on avait donné les valeurs exactes, on aurait des variations relatives rigoureusement constantes.
Pour les populations B et D les variations relatives entre deux valeurs successives ne sont pas constantes.
On peut bien sûr le vérifier en faisant le calcul, mais c’est inutile, car on sait à l’avance que l’on aura à
diviser des valeurs constantes (les variations absolues) par des valeurs variables (les valeurs successives
de la population). On aura nécessairement des résultats non constants.
Dans cette séquence, nous nous intéresserons principalement à ces deux catégories de suites de
nombres :
celles dont les variations absolues entre deux nombres successifs sont constantes,
celles dont les variations relatives entre deux nombres successifs sont constantes.
C Un conte (et compte) oriental
Il était une fois …
il y a bien longtemps, dans un lointain pays d’Orient, un Empereur (ou un Calife, c’est selon) qui voulait
récompenser ses deux plus fidèles serviteurs : son général en chef qui revenait vainqueur de sa dernière
campagne militaire, et son conseiller culturel qui venait de lui présenter un nouveau jeu, les échecs.
– « Vous qui venez de me présenter un jeu que vous prétendez subtil, montrez-moi votre subtilité en
m’indiquant, sur votre échiquier, comment je peux vous récompenser «.
– « C’est simple, répondit modestement le conseiller, mettez un grain de blé sur la première case de
l’échiquier, deux grains sur la deuxième, quatre sur la troisième, et ainsi de suite en doublant le nombre
de grains à chaque case. Je me contenterai de ramasser les grains de l’échiquier «.
Ravi de la modestie de cette demande, l’Empereur (ou Calife) se tourna vers son général en chef.
– « Et vous, général, comment utiliseriez-vous cet échiquier pour votre récompense ? «
– « Par respect pour votre conseiller, je vous demanderais aussi un grain de blé sur la première case,
mais ensuite mon tempérament m’impose plus de brutalité. Mettez mille et un grains sur la deuxième
case, deux mille et un grains sur la troisième et ainsi de suite en ajoutant mille grains à chaque case.
Je me satisferai des grains sur l’échiquier. «
– « Je n’en attendais pas moins de vous « conclut l’Empereur (ou Calife).
Mais il prit vite conscience, en satisfaisant les demandes, que la subtilité de son conseiller était aussi
d’une redoutable efficacité.
Voyons, en effectuant les calculs, pourquoi le conseiller était particulièrement subtil.
Complétez le tableau suivant qui donne le nombre de grains de blé sur les huit premières cases.
Case n° Général en chef Conseiller
1 1 1
2 1 001 2
3 2 001 4
4
5
6
7
8
Pour l’instant il ne semble pas que le général ait pris une mauvaise option.
 Remarque
Commentaire
Activité 2
Comptes
Séquence 5-MA40 161
Continuons avec les huit cases de la deuxième ligne de l’échiquier. Complétez le tableau suivant.
Case n° Général en chef Conseiller
9 8 001 256
10
11
12
13
14
15
16 15 001 32 768
Là, on commence à voir la subtilité du conseiller, puisqu’à la 15ème case, il obtient légèrement plus de
grains que le général, et qu’à la suivante il en a le double.
On se doute que les choses ne vont qu’aller dans le même sens, et de façon impressionnante puisqu’
à la fin de la ligne suivante, sur la 24ème case, le conseiller aura 8 388 608 grains, alors que le général
n’en aura que 23 001.
Calculez le nombre de grains obtenus par chacun à mi-échiquier, sur la 32ème case.
Puis sur la 64ème case.
Dans ce conte, nous avons rencontré à nouveau les deux catégories de suites de nombres évoquées
précédemment :
– celle dont la variation absolue entre deux nombres successifs est constante ( +1000 ), à savoir la
suite de nombres de grains de blé pour le général en chef,
– celle dont la variation relative entre deux nombres successifs est constante ( × 2 ), à savoir la suite
de nombres de grains de blé pour le conseiller.
 Le nombre de grains obtenus sur la dernière case pour le conseiller est réellement astronomique,
malgré la modestie – apparente – de la demande.
En effet, si l’on estime qu’un grain de blé pèse 0,05 g, on obtient un tonnage de :
9 223 372 036 854 775 808 × 0,05 ≈ 4,6 ×1017 g.
Soit : 4,6 ×1017 ×10−6 = 4,6 ×1011 tonnes.
Or la production mondiale de blé est actuellement d’environ 600 millions de tonnes par an.
Pour remplir cette case, il faudrait donc :
4 6 10
6 10
0 77 10 770
11
8
, 3
,
×
×
≈ × = ans ! !
 Nos calculs n’ont porté que sur les nombres de grains posés sur chaque case, et non pas sur le
nombre total des grains situés sur l’échiquier.
Mais ces deux totaux reflètent le même écart.
Deux formules permettent de calculer directement la somme des 64 nombres de chacune des deux
suites, mais elles ne seront vues qu’en Terminale.
Pour l’instant, on peut se contenter par exemple d’utiliser un tableur. On obtient pour le général en chef
2 016 064 g rains (environ 100 kg) et pour le conseiller environ 1,8 ×1019 grains.
Commentaire
 Remarque
162 Séquence 5-MA40
A Suites de nombres. Notations
 Suites numériques
Comme nous l’avons vu dans les deux activités d’introduction, on a souvent à travailler avec des « listes
de nombres «, listes dont les nombres sont énumérés dans un ordre précis : l’ordre chronologique
dans le cas des populations de bactéries, l’ordre des cases de l’échiquier dans le cas des nombres de
grains de blé.
Il est donc assez pratique de numéroter ces nombres lorsqu’ils ne le sont pas.
Pour les populations de bactéries, on peut noter chaque valeur avec la lettre de la population correspondante
et avec le numéro du jour correspondant.
Pour la population A on peut noter :
A1 = 10,00
A2 = 10,05
A3 = 10,07
A4 = 10,08
A5 = 10,04
A6 = 10,09
A7 = 10,05
A8 = 10,08
A9 = 10,11
A10 = 10,05
De la même façon on a :
B1 = 3,00
B5 = 3,08
C1 = 5,00
C2 = 4,65
C5 = 3,7403
D1 = 10,00
D7 = 9,82
E1 = 20,00
E2 = 22,00
E4 = 26,62
De même, pour les nombres de grains de blé sur l’échiquier, on peut noter chaque nombre avec la lettre
g pour ceux correspondant au général en chef ou la lettre c pour ceux du conseiller, et avec le numéro
de la case correspondante.
Pour le général en chef : g1 = 1 (grain sur la case n°1) g2 = 1 001 (grains sur la case n°2)
g3 = 2 001
g4 = 3 001
g16 = 15 001
g64 = 63 001
Pour le conseiller : cc1 = 1 (grain sur la case n°1) cc2 = 2 grains sur la case n°2)
cc 3 = 4
cc 4 = 8
cc16 = 32 768
cc64 = 9 223 372 036 854 775 808.
Définitions Une suite numérique est une liste de nombres « numérotés «.
Chacun de ces nombres est appelé un terme de la suite.
On donne généralement un nom à une suite numérique, en la notant par une lettre.
Dans les exemples précédents on pourra parler de la suite A, de la suite B, de la suite g.
On note habituellement les termes de la suite avec la même lettre, numérotée :
on peut numéroter avec un indice A1, A2,g1,g16
(on lit « g-seize «, ou « g-indice seize «),
ou de manière fonctionnelle A(1), A(2),g(1),g(16) (on lit « g de seize «).
On dit que B9 est le terme d’indice 9, ou le terme de rang 9, de la suite B.
On note parfois une suite numérique sous la forme : suite (An ) pour la suite A.
L’indice n n’a pas de valeur particulière, il est représentatif de l’ensemble des indices.
➠ Exemple
Notation
Vocabulaire
 Remarque
Cours
Séquence 5-MA40 163
Suivant les circonstances, on numérote les termes d’une suite U à partir de 1 : U1, U2, U3 ,
… etc.
ou à partir de 0. On a alors : U0 , U1, U2,
… etc.
Le premier terme d’une suite est donc parfois U0 ,
parfois U . 1
 Différentes façons de définir une suite numérique
Dans la plupart des situations, les suites numériques que nous aurons à étudier proviennent de la
traduction de situations concrètes (ou presque). Parfois elles seront définies directement de façon
mathématique.
Toujours est-il que nous rencontrerons essentiellement trois types de suites.
– Celles que l’on ne peut pas définir autrement qu’en en donnant tous les termes, car il n’y a pas de
« formule « permettant de les calculer ; c’est le cas de la suite A dans les exemples d’introduction.
On n’en dira rien de particulier, puisque leur étude reste très limitée.
– Celles où l’on donne une « formule « permettant de calculer directement chaque terme. On dit qu’elles
sont définies par une formule explicite.
On donne la suite U définie par :
Un = 2n2 +1
(on dit que Un
est le terme général de la suite).
Calculons U , U , U , U , U 0 1 2 3 13 .
On a :
U0
= 2× 02 +1= 1
U1
= 2×12 +1= 2+1= 3
U2
= 2× 22 +1= 8 +1= 9
U3
= 2× 32 +1= 18 +1= 19
U13
= 2×132 +1= 338 +1= 339.
Il faut bien comprendre dans la formule donnant le terme général de la suite, que le « n « intervenant
dans la formule est le même que l’indice.
Pour calculer un terme de rang donné, il faut donc remplacer ce « n « par le rang donné.
 On donne la suite V définie par :
Vn
n
n
= +
+
2
1
( Vn
est le terme général de la suite).
Calculez V , V , V , V , V 0 1 2 3 13 .
 Trouvez une formule pour définir de façon explicite le terme ccn
de la suite c (nombre de grains
pour le conseiller) de l’activité 2.
 Trouvez une formule pour définir de façon explicite le terme gn
de la suite g (nombre de grains
pour le général en chef) de l’activité 2.
 Trouvez une formule pour définir de façon explicite le terme Bn
de la suite B (population bactérienne
B) de l’activité 1.
 Trouvez une formule pour définir de façon explicite le terme Cn
de la suite C (population bactérienne
C) de l’activité 1.
– Celles où l’on donne le premier terme, et une « formule « permettant de calculer chaque terme à
l’aide du précédent. On dit qu’elles sont définies par récurrence.
O Attention
➠ Exemple
Exercices
164 Séquence 5-MA40
On donne la suite U définie par :
U
U U
1
1
2
2
1
=
= −
⎧⎨ ⎪
⎩⎪
n + n
( Un est le terme général de la suite, Un+1
est le terme suivant Un ).
Calculons U2, U3 , U6.
On a : U2 = U12 −1= 22 −1= 3
U3 = U22 −1= 32 −1= 8.
Contrairement au cas des suites définies de façon explicite, on ne peut pas calculer directement U6 .
Il faut calculer les termes intermédiaires.
U4 = U32 −1= 82 −1= 63
U5 = U42 −1= 632 −1= 3 968.
Et donc : U6 = U52 −1= 3 9682 −1= 15 745 023.
 On donne la suite V définie par :
V
V V
0
1
16
3 2
=
= −
⎧⎨ ⎪
⎩⎪
n + n
( Vn
est le terme général de la suite).
Calculez V1, V2, V3 , V6.
 Trouvez une formule pour définir par récurrence la suite c (nombre de grains pour le conseiller) de
l’activité 2.
 Trouvez une formule pour définir par récurrence la suite g (nombre de grains pour le général en
chef) de l’activité 2.
 Trouvez une formule pour définir par récurrence la suite B (population bactérienne B) de l’activité 1.
 Trouvez une formule pour définir par récurrence la suite C (population bactérienne C) de l’activité 1.
B Suites arithmétiques
 Définition
Nous avons vu précédemment, que l’on pouvait définir la suite ( gn ) par récurrence, par :
g
g g
1
1
1
1000
=
= +
⎧⎨ ⎪
⎩⎪
n + n
On peut remarquer que les variations absolues de cette suite sont constantes.
Pour n’importe quel indice, on a : gn +1−gn = 1000.
Cette suite est donc de la même catégorie que les suites ( Bn
) et ( Dn
).
D’ailleurs on peut les définir par récurrence. Pour ( Bn ) on a :
B
B B
1
1
3
0 02
=
= +
⎧⎨ ⎪
⎩⎪
n + n ,
et on observe que la formule de récurrence est analogue à celle de la suite ( gn ).
Donnez la définition par récurrence de la suite ( Dn
).
➠ Exemple
Exercices
Exercice
Séquence 5-MA40 165
C’est cette catégorie de suites qui va nous intéresser ici.
Définitions On dit qu’une suite numérique est une suite arithmétique si l’on passe d’un terme au suivant en
ajoutant toujours le même nombre a.
Le nombre a est appelé la raison de la suite.
La raison de la suite est aussi la variation absolue entre deux termes consécutifs.
On retrouve le fait que cette variation absolue est constante.
 Formules définissant une suite arithmétique
On vient de voir qu’une suite arithmétique peut être définie par récurrence.
Propriété Une suite arithmétique U de raison a peut être définie par récurrence par :
U
U U
0
n +1 = n +
⎧⎨ ⎪
⎩⎪
a
Mais on peut également calculer explicitement le terme général Un
d’une suite arithmétique. D’ailleurs
on l’a fait pour les suites g et B.
Propriété Une suite arithmétique U de raison a peut être définie explicitement par :
Un = U0 +n ×a
ou Un = U1+(n −1)×a
Ces formules s’expliquent en regardant comment on va calculer les termes successifs de la suite en
utilisant la formule de récurrence (ou la variation absolue constante).
Supposons que l’on parte de U0
et que l’on ajoute a pour passer d’un terme au suivant :
U0
U1 = U0 +a
U2 = U0 + 2a
U3 = U0 + 3a
… …
Un = U0 +na
+ a + a + a + a + a
Si l’on part de U1
, on ajoute la raison une fois de moins (par exemple U2 = U1+a
).
 On donne la suite U définie par :
U
U U
0
1
4
1 5
=
= −
⎧⎨ ⎪
⎩⎪
n + n ,
Calculez U , U , U , U 1 2 3 13 . Donner la formule explicite définissant Un
en fonction de n.
 On donne la suite U définie par : Un = 7+ 0,1n.
Calculez U , U , U , U , U 0 1 2 3 13 . Donner la formule définissant ( Un
) par récurrence.
 On donne la suite U définie par :
U
U U
1
1
4
1 5
=
= −
⎧⎨ ⎪
⎩⎪
n + n ,
Calculez U , U , U , U 1 2 3 13 . Donner la formule explicite définissant Un
en fonction de n.
 Remarque
Explication
Exercice
166 Séquence 5-MA40
 On donne la suite arithmétique U de premier terme U0 = 5
et de raison (– 0,5).
Calculez U , U , U , U 1 2 3 13 . Donner la formule explicite définissant Un
en fonction de n.
 On considère une suite arithmétique U dont on connaît deux termes : U5 = 5
et U8 = 0,8.
Calculez la raison de cette suite arithmétique.
Calculez U , U , U , U 1 2 3 13 . Donner la formule explicite définissant Un
en fonction de n.
 Sens de variation d’une suite arithmétique
Représentation graphique
Comme on l’a vu dans la première activité, on peut faire une représentation graphique d’une suite
numérique, en mettant en abscisse les indices, et en ordonnée les valeurs Un .
Pour une suite arithmétique de raison a, on aura les points ( n ; Un
), c’est-à-dire ( n ; U0 +n ×a ).
Or U0
et a sont des constantes.
Donc ces points seront alignés puisque leur ordonnée est une fonction affine de leur abscisse (voir
cours de troisième et de seconde) :
U0 +n ×a =f (n )
où f est la fonction affine définie par f (x ) =ax +U0.
Représentons les six premiers termes de la suite arithmétique U, de premier terme U0 = −2 et de raison 1,5.
Même chose avec la suite arithmétique V de premier terme V1 = 5
et de raison (– 0,5).
On a pour U :
U1 = U0 +1,5 = −0,5
U2 = U1+1,5 = 1
U3 = U2 +1,5 = 2,5
U4 = U3 +1,5 = 4
U5 = U4 +1,5 = 5,5.
Pour V :
V2 = V1− 0,5 = 4,5
V3 = V2 − 0,5 = 4
V4 = V3 − 0,5 = 3,5
V5 = V4 − 0,5 = 3
V6 = V5 − 0,5 = 2,5.
➠ Exemple
termes de U
indices
0
-1
-2
1
2
3
4
5
1 2 3 4 5
termes de V
indices
0
1
2
3
4
5
1 2 3 4 5
Séquence 5-MA40 167
Propriété Les points ( n ; U0 +n ×a
) représentant une suite arithmétique sont alignés.
Ces représentations graphiques nous montrent une suite arithmétique croissante, U, et une décroissante,
V.
Pour savoir comment varie une suite numérique U, il faut connaître le signe de toutes les différences
Un +1−Un .
Or pour une suite arithmétique, on sait que ces différences (les variations absolues) sont constantes
: c’est la raison de la suite.
Il suffit donc de connaître la raison d’une suite arithmétique pour savoir si la suite est croissante ou
décroissante.
Propriété Une suite arithmétique de raison positive est croissante.
Une suite arithmétique de raison négative est décroissante.
 Ce type de croissance, correspondant à une suite arithmétique, est parfois appelée croissance
arithmétique, ou plus souvent croissance linéaire.
 Une suite arithmétique de raison nulle est une suite constante.
 Remarque
168
Méthodes
Ce que je dois savoir faire
Comment reconnaître qu’un suite est arithmétique ?
Dans les exercices que l’on aura à traiter, on aura souvent à traduire une situation concrète en suite
numérique, puis à reconnaître la nature de cette suite.
Voyons comment reconnaître et montrer qu’une suite est arithmétique.
Pour montrer qu’une suite U est arithmétique, on calcule la différence Un +1−Un
(variation absolue
entre un terme et son suivant), et on montre que cette différence est constante, c’est à dire qu’elle
ne dépend pas de l’indice « n « intervenant dans le calcul.
La constante trouvée sera alors la raison de la suite arithmétique.
 Un village de 1000 habitants perd 80 habitants par an pour cause de départ ou de décès, et en
gagne 110 par naissance ou installation.
On note Pn la population du village n années après celle où le village avait 1000 habitants.
Calculer
P1,
P2.
Quelle est la nature de la suite ( Pn
) ?
 Un village de 1000 habitants perd 10% de ses habitants par an pour cause de départ ou de décès,
et en gagne 200 par naissance ou installation.
On note
Qn
la population du village n années après celle où le village avait 1000 habitants.
Calculer Q1,
Q2.
Quelle est la nature de la suite ( Qn
) ?
 On a : P1 = 1000 − 80 +110 = 1030
;
P2 = 1030 − 80 +110 = 1060.
Il semble que la suite soit arithmétique. Pour le démontrer, calculons Pn +1−Pn pour un indice « n «
quelconque.
L’énoncé nous dit que : Pn +1 = Pn − 80 +110 = Pn + 30.
Donc : Pn +1−Pn = 30.
Cette différence est constante, ne dépend pas de « n «, la suite est donc bien
une suite arithmétique. Sa raison est 30.
 On a : Q1 = 1000 −100 + 200 = 1100
;
Q2 = 1100 −110 + 200 = 1190.
On voit dès ces premiers calculs que la suite n’est pas arithmétique, puis que la différence entre les
deux premiers termes est 100, alors qu’entre les deux suivants il y a une différence de 90.
Comment calculer un terme d’une suite arithmétique ?
Pour calculer un terme d’une suite arithmétique de raison a :
si l’on connaît le terme précédent, on utilise la formule : Un +1 = Un +a
si l’on connaît le premier terme, on utilise la formule : Un = U0 +n ×a.
Dans l’exemple  précédent, calculer la population P10.
Puis la population P11.
Pour calculer P10 ,
on utilise la formule : P10 = P0 +10 × 30 = 1000 + 300 = 1300.
Pour calculer P11,
on utilise la formule : P11 = P10 + 30 = 1300 + 30 = 1330.
Méthode
➠ Exemple
Solutions
Méthode
➠ Exemple
Séquence 5-MA40
169
Comment calculer la raison d’une suite arithmétique quand on n’en connaît que deux
termes ?
Pour calculer la raison d’une suite arithmétique dont on connaît deux termes Up et Uq on calcule
la différence Uq −Up .
Cette différence représente ( q −p ) fois la raison a.
On a donc :
a =
−
−
U U
( )
. q p
q p
Calculer la raison de la suite arithmétique U dont on connaît deux termes : U4 = 13 et U20 = 53.
On a : U20 −U4 = 53−13 = 40. Or cela représente 16 fois la raison. Donc : a = = 40
16
2,5.
La raison de la suite arithmétique U est donc 2,5.
Méthode
➠ Exemple
Séquence 5-MA40
170 Séquence 5-MA40
C Suites géométriques
 Définition
Passons maintenant à la suite ( ccn ) que l’on a définie par récurrence dans la partie A du cours, par :
cc
cc cc
1
1
1
2
=
= ×
⎧⎨ ⎪
⎩⎪
n + n
On peut remarquer que les variations relatives de cette suite sont constantes.
Pour n’importe quel indice, on a :
cc cc
cc
cc cc
cc
n n
n
n n
n
+ −
=
−
1 = 2
1.
Cette suite est donc de la même catégorie que les suites ( Cn
) et ( En ).
D’ailleurs on peut les définir par récurrence. Pour ( Cn
) on a :
C
C C
1
1
5
0 93
=
= ×
⎧⎨ ⎪
⎩⎪
n + n ,
et on observe que la formule de récurrence est analogue à celle de la suite ( ccn ).
Donnez la définition par récurrence de la suite ( En ).
C’est cette catégorie de suites qui va nous intéresser ici.
Définitions On dit qu’une suite numérique est une suite géométrique si l’on passe d’un terme au suivant en
le multipliant toujours par le même nombre b.
Le nombre b est appelé la raison de la suite.
Regardons quel rapport il y a entre la raison d’une suite géométrique et la variation relative entre
deux termes consécutifs, autrement dit son taux d’évolution.
Notons V la suite géométrique, et b sa raison.
Le taux d’évolution se calcule par :
V V
V
V V
V
( )V
V
n n ( ).
n
n n
n
n
n
+ −
=
× −
=
−
1 = − 1
1
b b
b
On retrouve le fait que cette variation relative est constante.
Dans la suite du cours, pour garder des calculs simples, et parce que les situations concrètes sont de
cette nature, nous ne considèrerons que des suites géométriques de raison positive, et dont le
premier terme est positif.
 Formules définissant une suite géométrique
On vient de voir qu’une suite géométrique peut être définie par récurrence.
Propriété Une suite géométrique V de raison b (positive) peut être définie par récurrence par :
V
V V
0
n +1 = n ×
⎧⎨ ⎪
⎩⎪
b
Exercice
 Remarque
Attention
Séquence 5-MA40 171
Mais on peut également calculer explicitement le terme général Vn d’une suite géométrique. D’ailleurs
on l’a fait pour les suites c et C.
Propriété Une suite géométrique V de raison b (positive) peut être définie explicitement par :
Vn V0
= ×bn
ou
Vn V1
= ×bn −1
Ces formules s’expliquent en regardant comment on va calculer les termes successifs de la suite en
utilisant la formule de récurrence.
Supposons que l’on parte de V0 et que l’on multiplie chaque terme par b pour obtenir le suivant :
V0
V1 = V0 ×b
V2 V0
= ×b2
V3 V0
= ×b3
… …
Vn V0
= ×bn
×b ×b ×b ×b ×b
Si l’on part de V1, on multiplie par la raison une fois de moins (par exemple V2 = V1×b ) .
 On donne la suite V définie par :
V
V V
0
1
4
0 5
=
= ×
⎧⎨ ⎪
⎩⎪
n + n ,
Calculez V1, V2, V3, V7.
Donner la formule explicite définissant Vn en fonction de n.
 On donne la suite V définie par : Vn .
= 7× 0,2n
Calculez V0, V1, V2, V3, V7. Donner la formule définissant ( Vn ) par récurrence.
 On donne la suite V définie par :
V
V V
1
1
4
0 5
=
= ×
⎧⎨ ⎪
⎩⎪
n + n ,
Calculez V1, V2, V3, V7. Donner la formule explicite définissant Vn en fonction de n.
 On donne la suite géométrique V de premier terme V0 = 5 et de raison 2,5.
Calculez V1, V2, V3, V7. Donner la formule explicite définissant Vn en fonction de n.
 On considère une suite géométrique V dont on connaît deux termes : V4 = 5
et V6 = 45.
Calculez la raison de cette suite géométrique.
Calculez V1, V2, V3, V10. Donner la formule explicite définissant Vn
en fonction de n.
 On considère une suite géométrique V dont on connaît deux termes : V5 = 5
et V8 = 2,56.
Calculez la raison de cette suite géométrique.
Calculez V1, V2, V3, V10.
Donner la formule explicite définissant Vn
en fonction de n.
Explication
Exercice
172 Séquence 5-MA40
 Sens de variation d’une suite géométrique
Représentation graphique
Comme on l’a vu dans la première activité, on peut faire une représentation graphique d’une suite
numérique, en mettant en abscisse les indices, et en ordonnée les valeurs Vn .
Pour une suite géométrique de raison b, on aura les points ( n ; V0 ×bn
).
Ils ne seront pas alignés.
Représentons les six premiers termes de la suite géométrique V, de premier terme V0 = 0,5 et de raison
1,5.
Même chose avec la suite géométrique W de premier terme W1 = 5
et de raison 0,8.
On a pour V : V1 = V0 ×1,5 = 0,75
V2 = V1×1,5 = 1,125
V3 = V2 ×1,5 = 1,6875
V4 = V3 ×1,5 = 2,53125
V5 = V4 ×1,5 = 3,796875.
Pour W : W2 = W1× 0,8 = 4
W3 = W2 × 0,8 = 3,2
W4 = W3 × 0,8 = 2,56
W5 = W4 × 0,8 = 2,048
W6 = W5 × 0,8 = 1,6384.
Ces représentations graphiques nous montrent une suite géométrique croissante, V, et une décroissante, W.
Pour savoir comment varie une suite numérique V, il faut connaître le signe de toutes les différences
Vn +1− Vn .
Calculons, pour une suite géométrique de premier terme V0 et de raison b, ces différences :
Vn Vn V V V ( ).
n n n
+
− = × + − × = × − 1 0
1
b 0 b 0 b b 1
Puisqu’on ne s’intéresse qu’aux suites géométriques de raison positive, et dont le premier terme
est positif, le nombre V0 ×bn est positif.
➠ Exemple
termes de V
indices
0
1
2
3
1 2 3 4 5
termes de W
indices
0
1
2
3
4
5
1 2 3 4 5 6
Séquence 5-MA40 173
Le signe de Vn +1− Vn
est donc le même que le signe de (b −1).
Ce signe ne dépend donc pas de l’indice où est fait le calcul, mais est toujours le même : il ne dépend
que de b.
Il suffit donc de connaître la raison d’une suite géométrique pour savoir si la suite est croissante ou
décroissante.
Propriété Une suite géométrique de premier terme V0 positif et de raison b positive :
est croissante si b > 1
est décroissante si 0  Ce type de croissance, correspondant à une suite géométrique, est parfois appelée croissance
géométrique, ou plus souvent croissance exponentielle.
En effet les points représentant une suite géométrique sont situés sur des courbes qui représentent
des fonctions que l’on appelle fonctions exponentielles. Ce sont ces courbes que l’on a fait figurer sur
les graphiques ci-dessus.
 Une suite géométrique de raison b = 1 est une suite constante.
 Remarques
174
Méthodes
Ce que je dois savoir faire
Comment reconnaître qu’une suite est géométrique ?
Voyons comment reconnaître et montrer qu’une suite est géométrique.
Pour montrer qu’une suite V est géométrique, on calcule le quotient entre un terme et son suivant,
V
V
n ,
n
+1
et on montre que ce quotient est constant, c’est à dire qu’il ne dépend pas de l’indice « n «
intervenant dans le calcul.
La constante trouvée sera alors la raison de la suite géométrique.
 Un village de 2000 habitants perd un cinquième de ses habitants par an pour cause de départ ou
de décès, et en gagne un quart par naissance ou installation.
On note Pn la population du village n années après celle où le village avait 2000 habitants.
Calculer P1 ,P2. Quelle est la nature de la suite ( Pn
) ?
 Un village de 1000 habitants perd 10% de ses habitants par an pour cause de départ ou de décès,
et en gagne 200 par naissance ou installation.
On note Qn la population du village n années après celle où le village avait 1000 habitants.
Calculer Q1 ,Q2.
Quelle est la nature de la suite ( Qn ) ?
 On a : P1 = 2000 − 400 + 500 = 2100
;
P2 = 2100 − 420 + 525 = 2205.
Démontrons que la suite est géométrique. Calculons :
P
P
n ,
n
+1
pour un indice « n « quelconque.
L’énoncé nous dit que :
Pn +1 = Pn − Pn + Pn = Pn − Pn − Pn = Pn
1
5
1
4
20
20
4
20
5
20
21
20
.
Donc :
P
P
n .
n
+1 = 21
20
Ce quotient est constant, ne dépend pas de « n «, la suite est donc bien une suite
géométrique.
Sa raison est
21
20
= 1,05.
 On a : Q1 = 1000 −100 + 200 = 1100
;
Q2 = 1100 −110 + 200 = 1190.
On voit dès ces premiers calculs que la suite n’est pas géométrique, puisque le quotient entre les
deux premiers termes est
Q
Q
1
0
1100
1000
= = 1,1
alors qu’entre les deux suivants le quotient vaut
Q
Q
2
1
1190
1100
= ≈ 1,082.
Ils sont donc différents.
Méthode
➠ Exemple
Solutions
Séquence 5-MA40
175
Comment calculer un terme d’une suite géométrique ?
Pour calculer un terme d’une suite géométrique de raison b :
si l’on connaît le terme précédent, on utilise la formule : Vn +1 = Vn ×b
si l’on connaît le premier terme, on utilise la formule : Vn V .
= × n 0 b
Dans l’exemple  précédent, calculer la population P10. Puis la population P11.
Pour calculer P10 , on utilise la formule : P10 P0 .
= ×1,0510 = 2000 ×1,0510 ≈ 3258
Pour calculer P11, on utilise la formule : P11 = P10 ×1,05 ≈ 3258 ×1,05 ≈ 3421.
Comment calculer la raison d’une suite géométrique quand on n’en connaît que deux
termes ?
Pour calculer la raison d’une suite géométrique dont on connaît deux termes Up
et Uq
on calcule le
quotient
U
U
. q
p
Ce quotient est la raison b élevée à la puissance (q −p ) : bq −p .
Pour avoir b, on calcule la racine (q −p )ième de
U
U
q
p
: b =
⎛
⎝ ⎜⎜
⎞
⎠ ⎟⎟
U −
U
. q
p
q p
1
Calculer la raison de la suite géométrique dont on connaît deux termes : V4 = 3
et V7 = 24.
On a :
V
V
7 .
4
24
3
= = 8 Or cela représente b3. Donc : b = 2.
Méthode
➠ Exemple
Méthode
➠ Exemple
Séquence 5-MA40
176 Séquence 5-MA40
D Utilisation d’un tableur pour calculer les termes d’une suite
Les définitions, tant explicites que par récurrence, d’une suite arithmétique ou d’une suite géométrique
permettent d’utiliser avec profit un tableur pour calculer leurs termes.
Voyons sur quelques exemples comment s’y prendre.
 Suite arithmétique
De 1980 à 1993, la dépense de santé, par habitant, en France, a augmenté de 86,58 € (environ) chaque
année. Elle était de 586,13 € en 1980.
Établir une feuille de calcul qui indique la dépense de santé, par habitant, en France chaque année de
1980 à 1993.
Les valeurs successives de cette dépense sont les termes d’une suite arithmétique ( dn
) de raison
86,58.
On indique dans la colonne A les années, dans la colonne B les dépenses.
L’adresse de la cellule B3 est ici
relative puisque l’on va « étirer «
vers le bas cette formule, et que
dans chaque cellule on doit retrouver
l’adresse de la cellule immédiatement
au-dessus.
Voir exemple ci-contre : dans la cellule
B10 on trouve B9+86,58.
On aurait pu également utiliser la forme explicite de
dn
à savoir :
dn =d 0 +n × 86,58 = 586,13+n × 86,58.
➠ Exemple
Solution
Le premier terme est :
d 0 = 586,13
que l’on met dans la cellule B3.
Pour calculer le deuxième terme, on
utilise la définition par récurrence :
dn +1 =dn + 86,58.
On met donc dans la cellule B4 la
formule : B3+86,58.
Séquence 5-MA40 177
On indique dans la colonne A les années, dans la colonne B les indices et dans la colonne C les dépenses.
Le premier terme est : d 0 = 586,13
que l’on met dans la cellule C3.
Pour calculer le deuxième terme, on
utilise la définition explicite.
On met donc dans la cellule C4 la
formule : $C$3+B4*86,58.
L’adresse de la cellule B4 (qui correspond à l’indice) est ici relative puisque l’on va « étirer « vers le
bas cette formule, et que dans chaque cellule on doit retrouver l’adresse de la cellule immédiatement
à gauche.
Par contre l’adresse de la cellule
C3 ($C$3) est absolue puisqu’elle
correspond au premier terme et
doit donc se retrouver identique
dans chaque cellule après « étirement
« vers le bas.
Voir exemple ci-contre : dans
la cellule C10 on trouve
$C$3+B10*86,58.
Dans des conditions idéales de croissance, on peut considérer, en première approximation, qu’entre 2
et 10 ans la taille d’un enfant augmente en moyenne de 4 cm par semestre.
En prenant une taille de 90 cm à 2 ans, établir une feuille de calcul qui indique la taille de l’enfant
chaque semestre, de 2 à 10 ans.
On s’arrangera pour faire figurer l’augmentation moyenne semestrielle dans une cellule spécifique pour
tester ce que donnerait une augmentation moyenne semestrielle de 4,1 cm ou de 3,9 cm.
 Suite géométrique
On dit qu’un placement se fait à intérêts composés si les intérêts perçus à la fin de chaque période
prévue sont placés avec le capital pour les périodes suivantes, et génèrent eux-mêmes des intérêts.
On place 1500 € à intérêts composés au taux annuel de 3 %.
Calculer le capital obtenu au bout d’un an, de deux ans.
On appelle Cn
le capital obtenu au bout de n années ( C0 = 1500
). Quelle est la nature de la suite
(
Cn ) ?
Calculer le capital obtenu au bout de 10 ans.
Exercice
Exercice 1
178 Séquence 5-MA40
Voyons maintenant une utilisation du tableur.
On place 1500 € à intérêts composés au taux annuel de 3,65 %. On convient de prendre un taux équivalent
trimestriel si l’argent est retiré avant la fin de l’année.
Faire une feuille de calcul qui indique la valeur acquise par ce capital chaque trimestre pendant 3 ans,
de façon à pouvoir changer la valeur du capital, et le taux d’intérêts.
Un taux annuel de 3,65 % correspond à un coefficient multiplicateur de 1,0365.
Le coefficient multiplicateur m à appliquer pour calculer l’évolution du capital sur un trimestre doit
vérifier :
m4 = 1,0365. Soit : m = 1 0365 ≈ 1 009
1
, 4 , ce qui correspond à un taux d’intérêts trimestriel de 0,9 %.
Les valeurs trimestrielles successives du capital placé sont les termes d’une suite géométrique ( Cn )
de raison 1,009.
On indique dans la colonne A les
numéros des trimestres, dans la
colonne C les valeurs du capital (le
capital initial est donc dans la cellule
C4) et le taux d’intérêts trimestriel
dans la cellule C1.
Le premier terme est : C0 = 1500 que l’on met dans la cellule C4.
Pour calculer le deuxième terme, on utilise la définition par récurrence : Cn +1 =Cn ×1,009.
On met donc dans la cellule C5 la formule : C4*(1+$C$1).
L’adresse de la cellule C4 est ici
relative puisque l’on va « étirer «
vers le bas cette formule, et que
dans chaque cellule on doit retrouver
l’adresse de la cellule immédiatement
au-dessus.
Par contre l’adresse de la cellule
C1 ($C$1) est absolue puisqu’elle
correspond au taux d’intérêts trimestriel
et doit donc se retrouver
identique dans chaque cellule après
« étirement « vers le bas.
Voir exemple ci-contre : dans la cellule
C10 on trouve C9*(1+$C$1).
➠ Exemple
Solution
Séquence 5-MA40 179
On aurait pu également utiliser la forme explicite de Cn à savoir :
Cn C
= × n = × n 0 1,009 1500 1,009 .
On indique dans la colonne A les
numéros des trimestres, dans la
colonne C les valeurs du capital et
le taux d’intérêts trimestriel dans la
cellule C1.
Le premier terme est : C0 = 1500
que l’on met dans la cellule C4.
Pour calculer le deuxième terme, on
utilise la définition explicite.
On met donc dans la cellule C5 la formule : $C$4*(1+$C$1)^A5.
L’adresse de la cellule C1 ($C$1)
est absolue puisqu’elle correspond
au taux d’intérêts trimestriel et doit
donc se retrouver identique dans
chaque cellule après « étirement «
vers le bas.
L’adresse de la cellule C4 ($C$4)
est aussi ici absolue puisqu’elle
correspond au capital initial et doit
donc se retrouver identique dans
chaque cellule après « étirement «
vers le bas.
Par contre l’adresse de la cellule
A5 est relative puisque l’on va
« étirer « vers le bas cette formule,
et que dans chaque cellule on doit
retrouver l’adresse du numéro du
trimestre correspondant, c’est-àdire
de la cellule située sur la même
ligne et deux colonnes avant.
Voir exemple ci-contre : dans la cellule C10 on trouve $C$4*(1+$C$1)^A10.
Faire une feuille de calcul qui donne la valeur acquise par un capital placé à intérêts composés dans
un tableau à double entrée, l’une des entrées étant le nombre d’années que l’on fera varier de 1 à 7,
l’autre le taux d’intérêts annuel qui variera de 1% à 4% par pas de 0,5%, et de façon à pouvoir changer
la valeur du capital placée dans une cellule spécifique.
Exercice 2
180 Séquence 5-MA40
On considère la suite ( un ) définie par : un = (n +1)(n − 5).
Calculer u0 ,u1,u5 ,u15.
On considère la suite ( vn ) définie par : vn n
= × 2n.
Calculer v 0 , v 1, v 2, v 10.
On considère la suite ( tn
) définie par :
t
tn tn
1
1
7
2 8
=
= −
⎧⎨ ⎪
⎩⎪
+
Calculer t1, t 2, t 3 , t 7.
On considère une suite arithmétique ( wn
) de premier terme w1 = 7,5
et de raison r = −1,1.
Calculer w2,w16 ,w17 ,w25.
On considère une suite géométrique ( an ) de premier terme a1 = 500
et de raison r = 1,1.
Calculer a2, a16 , a17 , a25 (on donnera à chaque fois la valeur exacte, puis éventuellement une valeur
approchée).
On considère une suite arithmétique ( bn
) dont deux termes sont b7 = 500
et b15 = 392.
Calculer b16 ,b17 ,b25 ,b1.
On considère une suite géométrique ( cn
) dont deux termes sont c 7 = 2000
et c10 = 1458.
Calculer c11, c12, c17 , c1 (on donnera à chaque fois la valeur exacte, puis éventuellement une valeur
approchée).
On considère une suite ( dn ) dont on connaît trois termes : d 5 = 504,d 6 = 617 et d 7 = 730.
 Peut-elle être une suite arithmétique ? Si oui, quelle est sa raison ?
 Peut-elle être une suite géométrique ? Si oui, quelle est sa raison ?
On considère une suite ( An
) dont on connaît deux termes : A2 = 608
et A5 = 9500.
 Peut-elle être une suite arithmétique ? Si oui, quelle est sa raison ?
 Peut-elle être une suite géométrique ? Si oui, quelle est sa raison ?
On connaît trois termes d’une suite ( Bn
) : B2 = 4000, B4 = 4840
et B7 = 6442,04.
 Peut-elle être une suite arithmétique ? Si oui, quelle est sa raison ?
 Peut-elle être une suite géométrique ? Si oui, quelle est sa raison ?
Exercice 
Exercice 
Exercice 
Exercice 
Exercice 
Exercice 
Exercice 
Exercice    
Exercice

Exercice 
Exercices d’application
Séquence 5-MA40 181
A QCM
Cochez la ou les bonnes réponses.
 On considère la suite arithmétique ( un ) telle que u4 = 7 et u6 = 28.
Sa raison est :
 a. 21  b. 2  c. 10,5  d. 4
 On considère la suite géométrique ( un ) telle que u4 = 7 et u6 = 28. Sa raison est :
 a. 21  b. 2  c. 10,5  d. 4
 On considère la suite arithmétique ( un ) de premier terme u1 = 7 et de raison ( − 2,5). O n a :
 a. un = −2,5+ 7n  b. un = 7− 2,5n
 c. un = 9,5− 2,5n  d. un = 7− 2,5(n −1)
 On considère la suite géométrique ( un
) de premier terme u1 = 7 et de raison 2,5. On a :
 a. un
= 2,5× 7n  b. un
= 7× 2,5n −1
 c. un
= 2,8 × 2,5n  d. un
= 7× 2,5n
 On considère une suite ( un ) telle que u5 = 21 et u6 = 18,9. Cette suite peut être :
 a. géométrique  b. arithmétique croissante
 c. ni arithmétique, ni géométrique  d. arithmétique décroissante
 On considère une suite ( un ) telle que u5 = 2,01 et u6 = 2,0099. Cette suite peut être :
 a. croissante  b. décroissante
 c. ni croissante, ni décroissante  d. arithmétique
 On considère une suite ( un ) définie par un
= 3×(1,04)n .
Cette suite est :
 a. géométrique croissante  b. arithmétique croissante
 c. géométrique décroissante  d. arithmétique décroissante
     On considère une suite ( un ) définie par un = −250 + 3n.
Cette suite est :
 a. géométrique croissante  b. arithmétique croissante
 c. géométrique décroissante  d. arithmétique décroissante
Auto-évaluation
182 Séquence 5-MA40

 On considère une suite ( un ) définie par un
= 10 500 ×(0,99)n . Cette suite est :
 a. géométrique croissante  b. arithmétique croissante
 c. géométrique décroissante  d. arithmétique décroissante
On considère une suite ( un ) définie par un = 10 500 − 0,01n.
Cette suite est :
 a. géométrique croissante  b. arithmétique croissante
 c. géométrique décroissante  d. arithmétique décroissante
Séquence 5-MA40 183
B Vrai-Faux
Indiquez si l’affirmation suivante est vraie ou fausse.
 On considère une suite ( un ) définie par un = (n − 2,5)(n +1).
Cette suite est croissante :
 Vrai  Faux
 On considère une suite ( un ) définie par un = (n − 2,5)(n +1).
u1 est négatif :
 Vrai  Faux
 On considère une suite ( un
) définie par un = (n − 2,5)(n +1).
Il existe un terme up = 0 :
 Vrai  Faux
 On considère une suite ( un
) définie par
u
un un
0
1
1
2 25
=
= +
⎧⎨ ⎪
⎩⎪
+ ,
.
Cette suite est géométrique :
 Vrai  Faux
 On considère une suite ( un
) définie par
u
un un
0
1
1
2 25
=
= +
⎧⎨ ⎪
⎩⎪
+ ,
.
Cette suite est arithmétique :
 Vrai  Faux
 Si la raison a d’une suite arithmétique vérifie 0  Vrai  Faux
 Si la raison b d’une suite géométrique vérifie 0  Vrai  Faux
     Si le premier terme d’une suite arithmétique est négatif, la suite est croissante :
 Vrai  Faux

 Si le premier terme d’une suite géométrique est supérieur à 1, la suite est croissante :
 Vrai  Faux
Si la raison d’une suite arithmétique est inférieure au premier terme, la suite est décroissante :
 Vrai  Faux
184 Séquence 5-MA40
Une ville de 200 000 habitants a sa population qui augmente de 6% par an.
On note Pn
la population de la ville n années après celle où elle avait 200 000 habitants.
 Calculer P1, P2, P3.
 Exprimer Pn +1 en fonction de Pn . Quelle est la nature de la suite ( Pn ) ? Sa raison ?
 Calculer P10.
 Au bout de combien d’années la population de la ville aura-t-elle doublé ?
 Si la population augmentait de 8% par an, combien d’années faudrait-il pour que la population
double ?
Un cabinet médical qui en a déjà 2 000 voit 150 nouveaux patients arriver chaque année.
On note Pn le nombre de patients n années après celle où il y en a 2 000.
 Calculer P1, P2, P3.
 Exprimer Pn +1 en fonction de
Pn .
Quelle est la nature de la suite ( Pn
) ? Sa raison ?
 Calculer P10.
 Au bout de combien d’années le nombre de patients aura-t-il doublé ?
 Si le cabinet avait 170 nouveaux patients par an, combien d’années faudrait-il pour doubler le
nombre de patients ?
Au début d’une épidémie de grippe, on recense dans une ville 5 000 personnes atteintes.
Chaque jour on constate que 10% des malades guérissent, mais que 600 nouveaux cas de maladie
sont déclarés.
On note
Mn
le nombre de malades n jours après celui où il y en avait 5 000.
 Calculer M1,M2,M3.
Exprimer Mn +1
en fonction de Mn .
 La suite ( Mn
) est-elle arithmétique ? Pourquoi ?
 Cette suite est-elle géométrique ? Pourquoi ?
On veut placer 200 € sur un compte rémunéré. Deux possibilités s‘offrent à nous.
Un placement à intérêts simples au taux annuel de 4% (les intérêts sont versés sur le compte, mais seul
le capital initial rapporte des intérêts), ou un placement à intérêts composés au taux annuel de 3,5%
(les intérêts sont versés sur le compte et rapportent des intérêts les années suivantes).
On appelle An le capital obtenu après n années avec le premier placement, Bn le capital obtenu après
n années avec le deuxième.
 Calculer A1, A2, A3.
 Exprimer An +1 en fonction de An . Quelle est la nature de la suite ( An ) ? Sa raison ?
Exercice 
Exercice 
Exercice 
Exercice 
Exercices d’approfondissement
Séquence 5-MA40 185
 Calculer A10.
 Calculer B1, B2, B3.
 Exprimer Bn +1
en fonction de Bn .
Quelle est la nature de la suite ( Bn
) ? Sa raison ?
 Calculer
B10.
 A partir de combien d’années le deuxième placement devient-il plus intéressant que le premier (on
pourra utiliser la calculatrice ou le tableur) ?
     Répondre aux questions 2, 5 et 7 dans le cas où l’on place un capital de K euros.
Dans une entreprise, les employés ont un salaire mensuel de 1000 €.
On propose deux formules d’augmentation des salaires mensuels : soit de 80 €, soit de 7 % chaque
année.
On note En
le salaire mensuel des employés n années après celle où ce salaire est de 1000 € dans le
cas d’une augmentation de 80 €.
De même on note Fn ce salaire mensuel dans le cas d’une augmentation de 7 %.
 Calculer E1, E2, E3 , puis F1, F2, F3.
 Exprimer En +1
en fonction de En .
Quelle est la nature de la suite ( En
) ? Sa raison ?
 Exprimer Fn +1
en fonction de Fn .
Quelle est la nature de la suite ( Fn
) ? Sa raison ?
 Calculer E8
et F8
(on donnera les valeurs exactes, puis des valeurs approchées au centime).
 Au bout de combien d’années la deuxième formule devient-elle plus intéressante que la première (on
pourra utiliser la calculatrice) ?
 Les cadres de l’entreprise gagne 50% de plus que les employés, et ont donc un salaire mensuel de
1500 €.
On note Cn
le salaire mensuel des cadres n années après celle où ce salaire est de 1500 € dans le cas
d’une augmentation de 80 €.
De même on note Dn
ce salaire mensuel dans le cas d’une augmentation de 7%.
Calculer C1, C2, C3 ,
puis D1, D2, D3.
Calculer les rapports
C
E
,
C
E
,
C
E
1 ,
1
2
2
3
3
puis
D
F
,
D
F
,
D
F
1 .
1
2
2
3
3
Quelle est la formule d’augmentation la plus « juste « socialement ?
L’iode 131 est un élément radioactif utilisé en médecine pour les scintigraphies.
On mesure tous les deux jours l’activité radioactive d’un échantillon d’iode 131.
Initialement, l’échantillon a une activité radioactive de 3000 GBq (Giga-becquerels).
Au bout de deux jours, cette activité radioactive n’est plus que de 2500 GBq, … etc.
Tous les deux jours l’échantillon perd
1
6
de son activité radioactive.
On appelle A0
l’activité radioactive initiale en Giga-becquerels ( A0 = 3000
), et An
celle mesurée
après n périodes de deux jours.
Exercice 
Exercice 
186 Séquence 5-MA40
 Que vaut A1 ? Calculer A2
(on arrondira à 10−2
près).
 Quelle relation y a-t-il entre An et An +1
?
Que peut-on en déduire sur la nature de la suite ( An ) ?
 Quelle est l’activité radioactive de l’échantillon au bout de dix jours (on arrondira à 10−2
près) ?
Au bout de dix périodes de deux jours (on arrondira à 10−2 près) ?
 Au bout de combien de périodes de deux jours est-elle inférieure à 100 GBq (on pourra utiliser la
calculatrice) ?
Une source sonore extérieure émet un son d’intensité 100 décibels. On isole une pièce avec une couche
de plaques d’isolation phonique. Cette couche absorbe 10 % de l’intensité sonore.
 Quelle intensité sonore perçoit-on à l’intérieur de la pièce ?
 On installe une deuxième couche d’isolation qui absorbe aussi 10 % de l’intensité sonore qu’elle
reçoit. Quelle intensité sonore perçoit-on à l’intérieur de la pièce ?
 Chaque nouvelle couche d'isolation absorbe aussi 10 % de l'intensité sonore qu’elle reçoit. Quelle
intensité sonore perçoit-on à l’intérieur de la pièce avec 5 couches ?
Montrer que les intensités sonores perçues à travers 1, 2, ... , n couches constituent une suite géométrique
dont on donnera la raison.
 Quelle intensité sonore perçoit-on à l’intérieur de la pièce avec 10 couches d’isolation ?
 Combien de couches faut-il pour diviser par 3 l'intensité sonore extérieure ?
En 1997 on a mis en chantier 270 000 logements sociaux en France, dont 153 000 en habitat individuel.
Une étude sur la période 1997-2001 permet d’estimer que chaque année, le nombre de mises en chantier
de logements sociaux en habitat individuel augmente de 6,6 %, alors que le nombre de mises en
chantier de logements sociaux en habitat collectif diminue de 3,4 %.
On considère que ces taux d’évolution restent constants.
 Combien y a-t-il eu de mises en chantier de logements sociaux en 1998, en 1999 ?
 Au bout de combien d’années le nombre de mises en chantier de logements sociaux en habitat
individuel aura-t-il doublé ?
 Au bout de combien d’années le nombre de mises en chantier de logements sociaux en habitat
collectif sera-t-il inférieur à la moitié du nombre de mises en chantier de logements sociaux en habitat
individuel ?
 A l’aide d’un tableur où l’on calculera pour chaque année les nombres de mises en chantier de
logements sociaux en habitat individuel, en habitat collectif, et au total, déterminer au bout de combien
d’années le nombre total de mises en chantier de logements sociaux dépassera-t-il 350 000 ?
 Un véhicule est acheté 10 000 € en 2005. On admet qu’il perd 20 % de sa valeur par an.
On note V0 , V1, V2, ... , Vn les valeurs du véhicule à l’achat, au bout d’un an, deux ans, ..., n années.
a. Calculer V1, V2,V3.
b. Exprimer Vn +1
(valeur au bout de n +1 années) en fonction de Vn
(valeur au bout de n années).
Montrer que cette relation peut s’écrire : Vn +1 = 0,8 × Vn .
c. Quelle est la nature de la suite ( Vn
) ? En déduire l’expression de
Vn
en fonction de n.
Exercice 
Exercice    
Exercice

Séquence 5-MA40 187
 On suppose que le prix des voitures neuves augmente de 5 % par an.
a. Un véhicule vaut 10 000 € en 2005. Quels sera le prix du même véhicule neuf en 2006, 2007,
2008 ?
b. Un particulier achète en 2005 un véhicule neuf valant 10 000 €. Il souhaite le revendre au bout de
quelques années pour acheter le même neuf. Combien d’années, au plus, doit-il attendre s’il ne veut
pas dépenser plus de 9 000 € pour ce renouvellement ?
On construit une suite de figures en partant d’un triangle équilatéral gris (rang 1), et en enlevant à chaque
rang la zone centrale blanche (triangle équilatéral) du ou des triangles gris de la figure précédente.
L’aire du triangle de rang 1 est : 8 cm² (la figure ci-dessous n’est pas en vraie grandeur).
rang 1 rang 2 rang 3 rang 4
 Dessiner la figure de rang 4 sur le graphique ci-dessus.
 a. Dans la figure de rang 2, quelle est l’aire d’un des triangles gris ? Du triangle blanc ?
Pourquoi ?
b. Quelle est l’aire grisée de la figure de rang 2 ?
c. Quelle est l’aire grisée de la figure de rang 3, de celle de rang 4 ?
 a. Exprimer l’aire grisée de la figure de rang n, en fonction de l’aire grisée de la figure de rang
(n – 1) ?
b. En déduire l’aire en gris de la figure de rang 10 (on donnera la valeur exacte et une valeur
approchée). ■
Exercice