La place des équations différentielle dans le monde de la science

« Bonjour, Depuis des siècles, les mathématiques et les sciences expérimentales avancent ensemble.

Mais ce lien devient particulièrement clair lorsqu’on cherche à comprendre, décrire, et prédire l’évolution d’un phénomène physique ou chimique.

Pour cela, un outil mathématique se révèle fondamental : les équation différentielle. On pourra donc se demander : En quoi ces équations différentielles sont-elles utiles pour modéliser et résoudre des problèmes en physique et en chimie ? • Une première partie mathématique consacrée aux propriétés et à la modélisation des équations différentielles, • Une deuxième partie scientifique, sur leur utilisation diverse et concrète en physique et en chimie. Une équation différentielle est une équation dans laquelle l’inconnue est une fonction.

Autrement dit, on ne cherche pas un nombre, comme dans l’équation 2x+3=5, mais une fonction y(t) dont la dérivée est liée à elle même, c’est-à-dire à sa variation.

Elle a donc plusieurs solutions possibles, mais si on connaît la valeur initiale, il n’y a qu’une seule solution. Cela signifie que la vitesse de variation de y est proportionnelle à y elle-même Étape 1 : Séparer les variables L’objectif est de rassembler tous les y d’un côté et tous les t de l’autre : On a ici utilisé une astuce de calcul différentiel : c’est ce qu’on appelle la séparation des variables. Étape 2 : Intégrer les deux membres Maintenant, on intègre de chaque côté, c’est-à-dire qu’on applique l’opération "intégrale" : où C est une constante d’intégration. Étape 3 : Isoler y On élève chaque membre à la puissance exponentielle pour enlever le logarithme : On pose A=eCA (c’est une constante strictement positive), donc : Étape 4 : Utiliser la condition initiale On connaît la valeur de y à t=0, par exemple : y(0)=A On remplace dans l’expression : Donc : A=y0 Et la solution finale est : Pour résumer on est parti de l’information sur la dérivée et on a retrouvé la fonction qui décrit la quantité en chaque instant. Intégrer une équation différentielle, c’est passer d’une loi de variation (la dérivée) à l’expression explicite de la fonction qui évolue dans le temps. C’est donc le cœur de la résolution, et cela permet de prédire l’évolution d’un phénomène à tout instant. Maintenant que nous avons compris comment fonctionnent les équations différentielles et ce qu’elles expriment mathématiquement, voyons comment elles sont réellement utilisées en physique et en chimie." En physique comme en chimie, la plupart des lois fondamentales expriment des relations entre des grandeurs physiques et leurs variations : • Une substance radioactive qui se désintègre au fil du temps ; • Une réaction chimique dont la concentration diminue, puisque plus elle avance moins il y à d’élément pour réagir ; • Un corps qui refroidit après avoir été chauffé. • Une particule soumise à une force. Tous ces phénomènes ont un point commun : une grandeur évolue dans.... »