GRAND ORAL Spécialité Mathématiques Comment la résolution mathématique des équations différentielles de décroissance radioactive permet-elle d'estimer des durées géologiques et archéologiques ?

« Grand Oral — Spécialité Mathématiques GRAND ORAL Spécialité Mathématiques Comment la résolution mathématique des équations différentielles de décroissance radioactive permet-elle d'estimer des durées géologiques et archéologiques ? Durée de l'exposé : 10 minutes — Format continu Page 1/7 Grand Oral — Spécialité Mathématiques Plan de l'exposé • Introduction et présentation de la problématique (≈ 1 min 30) • I.

De la loi probabiliste individuelle à l'équation différentielle de décroissance (≈ 4 min) • II.

De la demi-vie à la datation au carbone 14 : une application concrète (≈ 3 min 30) • Conclusion et ouverture vers le projet d'orientation (≈ 1 min) Page 2/7 Grand Oral — Spécialité Mathématiques Introduction (≈ 1 min 30) Bonjour à toutes et à tous.

Le temps est l'une des notions les plus fascinantes des sciences.

L'humanité a inventé des horloges mécaniques ou solaires pour mesurer le passage des heures, mais la nature possède ses propres horloges internes, logées au cœur des noyaux atomiques instables : c'est la radioactivité. Découverte à la fin du XIXe siècle par Henri Becquerel, puis étudiée par Pierre et Marie Curie, la radioactivité est un phénomène physique spontané qui transforme la matière.

Mais au-delà de son aspect physique, c'est sa modélisation mathématique rigoureuse qui en a fait un outil d'une puissance considérable : la possibilité de dater des objets anciens avec une précision remarquable. Passionné par la physique nucléaire et par la rigueur de l'analyse mathématique, j'ai voulu comprendre comment ces deux disciplines s'articulent pour quantifier le passé.

Cela m'amène à la problématique suivante : « Comment la résolution mathématique des équations différentielles de décroissance radioactive permet-elle d'estimer des durées géologiques et archéologiques ? » Pour y répondre, je commencerai par expliquer comment on passe d'une loi probabiliste, valable pour un seul noyau, à une équation différentielle qui décrit le comportement d'une population entière de noyaux radioactifs.

Puis, dans un second temps, je montrerai comment cette loi se traduit très concrètement dans la datation archéologique, en m'appuyant sur l'exemple du carbone 14. I.

De la loi probabiliste individuelle à l'équation différentielle (≈ 4 min) À l'échelle microscopique, la désintégration d'un noyau radioactif est un phénomène régi par le hasard.

Elle possède trois caractéristiques fondamentales : elle est aléatoire, on ne peut jamais prédire à quel instant précis un noyau donné va se désintégrer ; elle est spontanée, c'est-à-dire qu'elle se produit sans aucune intervention extérieure ; et elle est indépendante des conditions extérieures comme la température ou la pression, ainsi que des autres noyaux présents. Pour un noyau radioactif unique, la probabilité qu'il se désintègre pendant un court intervalle de temps Δt est proportionnelle à cet intervalle.

On écrit cette probabilité : P(désintégration) = λ × Δt Page 3/7 Grand Oral — Spécialité Mathématiques où λ est la constante radioactive du radio-isotope considéré, exprimée en seconde puissance moins un. Le problème, c'est que cette loi ne concerne qu'un seul noyau, pris isolément, et reste de nature probabiliste.

Or, dans un échantillon réel, on ne manipule jamais un seul noyau : on en a un nombre colossal, de l'ordre de 10 puissance 20.

C'est là qu'intervient la loi des grands nombres, qui permet de passer d'un comportement individuel aléatoire à un comportement collectif parfaitement déterministe. Si l'on note N(t) le nombre de noyaux radioactifs encore présents à l'instant t, la variation moyenne ΔN(t) de cette population pendant la durée Δt s'écrit comme le produit du nombre de noyaux par la probabilité individuelle de désintégration, affecté d'un signe moins puisque la population diminue : ΔN(t) = − N(t) × λ × Δt En divisant les deux membres par Δt, puis en faisant tendre Δt vers zéro, on reconnaît exactement la définition du nombre dérivé.

On obtient ainsi la dérivée temporelle de N : dN(t)/dt = − λ × N(t) Nous obtenons une équation différentielle linéaire du premier ordre, homogène, à coefficients constants : N'(t) + λ × N(t) = 0 D'après le cours de mathématiques de terminale, l'unique solution de toute équation différentielle de la forme y' + a·y = 0, vérifiant une condition initiale N(0) = N0, est une fonction exponentielle.

On en déduit que : N(t) = N0 × e^(−λt) où N0 est le nombre de noyaux radioactifs présents à l'instant initial t = 0.

On peut vérifier facilement que cette fonction est bien solution : sa dérivée vaut N0 × (−λ) × e^(−λt), c'est-à-dire −λ × N(t), ce qui correspond exactement à l'équation de départ.

La condition initiale est elle aussi respectée puisque N(0) = N0 × e^0 = N0.

Et l'on peut démontrer, en posant une fonction auxiliaire g(t) = f(t) × e^(λt) pour toute autre solution f, que cette solution est nécessairement unique. Pour caractériser la rapidité de cette décroissance, on définit la demi-vie, notée t1/2 : c'est la durée nécessaire pour que la moitié des noyaux initialement présents se soient désintégrés.

Elle vérifie donc N(t1/2) = N0/2, ce qui donne, après application du logarithme népérien des deux côtés de l'égalité : t1/2 = ln(2) / λ Page 4/7 Grand Oral — Spécialité Mathématiques Cette relation montre que la demi-vie est inversement proportionnelle à la constante radioactive λ.

Chaque isotope possède ainsi sa propre demi-vie, qui peut varier de quelques microsecondes.... »