Grand oral: PARADOXE DES ANNIVERSAIRES

« PARADOXE DES ANNIVERSAIRES INTRO : Avant toute chose, je vais rappeler ce qu’est une probabilité : Le terme probabilité possède plusieurs sens, il désigne l'opposé du concept de certitude ; il est également une évaluation du caractère probable d’un évènement, c'est-à-dire qu'une valeur permet de représenter son degré de certitude ; récemment, la probabilité est devenue une science mathématique et est appelée « théorie des probabilités » ou plus simplement « probabilités ». La probabilité d'un événement est un nombre réel compris entre 0 et 1.

Plus ce nombre est grand, plus la chance, que l'événement se produise est grand.

Si la probabilité d’un évènement est égale à 0, il y a 0% de chance que cet évènement se produise et si la probabilité d’un évènement est égale à 1, il y a 100% de chance que cet évènement se produise. La somme d’un évènement X et de son évènement contraire doit être égale à 1. Ainsi, posons-nous la question suivante : Comment expliquer que sur un groupe de 23 personnes il y a au moins 1 chance sur 2 que 2 personnes soit née le même jour ? Cette question est tirée du paradoxe des anniversaires.

Ce paradoxe est à l’origine une estimation probabiliste du nombre de personne que l’on doit réunir dans un groupe pour avoir 50% de chance que 2 personnes de ce groupe aient leur anniversaire le même jour.

Dans ce groupe on parle de personne qui partage le même jour et mois de naissance mais pas forcément la même année Contre toute attente, il se trouve que ce nombre est 23.

On dit même qu’à partir d’un groupe de 57 personnes, la probabilité est supérieure à 99% Cependant il ne s’agit pas d’un paradoxe dans le sens de contradiction logique ; c'est un paradoxe, dans le sens où c'est une vérité mathématique qui contredit l'intuition : la plupart des gens estiment que cette probabilité est très inférieure à 50 %. PARTIE 1 : Définir et expliquer les notions : factorielle, évènements, arbre pondéré… PARTIE 2 : Illustrer avec un exemple PARTIE 3 : Démonstration et explication du paradoxe EXPLICATION ET DEFINITION DES NOTIONS : Avant toute chose, je vais vous expliquer quelques notions clés sur les probabilités afin que vous compreniez au mieux la résolution du paradoxe :  Factorielle d’un nombre : on appelle factorielle d’un nombre n le produit de tous les nombres de 1 à n, il se note n! et il se lit « factorielle n » Exemple : 3! = 1x2x3 = 6  Evènement : dans le cadre des probabilités, un événement lié à une expérience aléatoire est un sous-ensemble des résultats possibles pour cette expérience. Exemple : Lors d’une lancée de pièce on note X l’évènement « obtenir pile » et on appelle Xbar l’évènement contraire de X, en l’occurrence ici « obtenir face ». EXEMPLE POUR ILLUSTRER LES PROBABILITES : Afin de mieux comprendre comment faire la probabilité d’un évènement donnée, je vais vous l’expliquer à l’aide d’un exemple précis : On considère l’expérience suivante : Une urne contient 3 boules blanches et 2 boules rouges.

On tire au hasard une boule et on la remet dans l’urne. Qu’elle est la probabilité d’obtenir une boule blanche ? Et qu’elle est la probabilité d’obtenir une boule rouge ? Il faut d’abord se représenter l’ensemble et les sous-ensembles de cette expérience : L’ensemble désigne tous les éléments d’une expérience, ici c’est toutes les boules, donc l’ensemble est égal à 5 Un sous-ensemble désigne une partie de l’ensemble de l’expérience, ici on a 2 sous-ensembles : les 3 boules blanches et les 2 boules rouges. Ainsi pour pouvoir trouver une probabilité on fait le calcul suivant : sous-ensemble/ensemble. Dans notre exemple, la probabilité de tiré une boule blanche est égale à 3/5, qui nous donne 0,6. La probabilité de tiré une boule rouge est égale à 2/5, qui nous donne 0,4. Comme je vous l’ai dit en introduction la somme d’un évènement X et de son évènement contraire doit être égale à 1, ce qui équivaut en probabilité à 100%. Dans notre exemple la somme des 2 probabilités : 0,6 + 0,4 est égale à 1, donc notre probabilité est vérifiée. RESOLUTION DU PARADOXE : A présent nous avons tous les éléments.... »