grand oral maths Sujet proposé "Comment les mathématiques peuvent-elles aider à modéliser le refroidissement d'un corps ?"

« Sujet proposé "Comment les mathématiques peuvent-elles aider à modéliser le refroidissement d'un corps ?" Plan court avec timing (10 minutes d'exposé) Introduction (1 min)  Contextualisation : phénomène physique quotidien (refroidissement d'une boisson chaude, d'un objet métallique)  Problématique : En quoi les outils mathématiques sont-ils essentiels pour comprendre et prédire le refroidissement d'un corps ?  Annonce du plan I.

Modélisation par équation différentielle (3 min)  Loi de Newton du refroidissement : principe physique  Traduction mathématique : équation différentielle du premier ordre  Méthodes de résolution mathématique II.

Analyse de la solution et interprétation (3 min)  Étude de la fonction exponentielle décroissante obtenue  Notion de temps caractéristique et constante de temps  Représentation graphique et analyse des paramètres III.

Applications et extensions du modèle (3 min)  Application numérique sur un cas concret  Méthodes d'approximation numérique  Extensions du modèle (systèmes d'équations différentielles pour des corps complexes) Conclusion (1 min)  Synthèse de l'apport des mathématiques dans la compréhension du phénomène  Ouverture sur d'autres phénomènes modélisables par des équations différentielles Cas concret à développer Pour la partie II, vous pourriez présenter un cas concret détaillé : Imaginons une tasse de café à 95°C placée dans une pièce à température constante de 20°C. 1.

Modélisation mathématique :  La loi de Newton nous donne l'équation différentielle : dT/dt = -k(TT₀)  Où T est la température du café, T₀ = 20°C est la température ambiante, et k est une constante positive 2.

Résolution mathématique :  Cette équation différentielle est à variables séparables  En réarrangeant : dT/(T-T₀) = -k·dt  En intégrant : ln|T-T₀| = -kt + C  Avec la condition initiale T(0) = 95°C, on trouve C = ln|95-20| = ln(75)  Donc ln|T-T₀| = -kt + ln(75)  Ce qui donne : T(t) = T₀ + (T(0)-T₀)·e^(-kt) = 20 + 75·e^(-kt) 3.

Analyse mathématique :  Montrer que cette fonction est strictement décroissante (dérivée négative)  Calculer la limite quand t tend vers l'infini (= température ambiante)  Déterminer le temps nécessaire pour atteindre une température donnée Idées de développement par partie Partie I: Modélisation par équation différentielle  Expliquer comment on passe d'une observation physique à une équation différentielle  Présenter différentes méthodes de résolution (variables séparables, facteur intégrant)  Montrer que cette équation est un cas particulier d'équation différentielle linéaire du premier ordre Partie II: Analyse de la solution et interprétation  Étudier les propriétés de la fonction exponentielle obtenue (variations, limites)  Interpréter le coefficient k en termes de vitesse de refroidissement  Introduire la notion de temps caractéristique τ = 1/k (temps nécessaire pour que l'écart de température diminue d'un facteur 1/e ≈ 0,37)  Représenter graphiquement la solution pour différentes valeurs de k Partie III: Applications et extensions du modèle  Déterminer expérimentalement la valeur de k à partir de mesures  Présenter des méthodes numériques pour résoudre l'équation (Euler, Runge-Kutta)  Discuter des extensions possibles pour des systèmes plus complexes (équations aux dérivées partielles pour la diffusion de la chaleur) Sources documentaires Voici quelques sources documentaires pour approfondir votre sujet : 1.

Programme officiel de Mathématiques Terminale : Le thème "Équations différentielles" est au programme de spécialité mathématiques, avec notamment l'étude des équations différentielles linéaires du premier ordre. 2.

Ressources du Guide Thotis Grand Oral 2025 : Vous y trouverez des exemples de sujets similaires comme "Comment les équations différentielles modélisent-elles la vitesse d'une réaction chimique ?" ou "Comment les mathématiques permettent d'aider à adapter le pH d'un aquarium ?" 3.

Sites académiques : L'académie de Versailles propose des ressources sur la modélisation du refroidissement par équations différentielles. 4.

Ressources pour le Grand oral : Le site xymaths.fr propose des exemples de sujets de Grand oral en spécialité mathématiques, dont la loi de refroidissement de Newton. Conseils pour la préparation 1.

Maîtrisez les concepts mathématiques : Assurez-vous de bien comprendre la résolution des équations différentielles linéaires du premier ordre, les propriétés de la fonction exponentielle, et les méthodes d'approximation numérique. 2.

Préparez une représentation graphique : Un graphique montrant la courbe de température en fonction du temps serait très parlant.

Vous pourriez même préparer plusieurs courbes pour différentes valeurs de k. 3.

Entraînez-vous aux calculs : Soyez à l'aise avec les manipulations algébriques nécessaires pour résoudre l'équation différentielle. 4.

Anticipez les questions du jury :  Comment déterminer expérimentalement la constante k ?  Quelles sont les limites mathématiques de ce modèle ?  Comment généraliser ce modèle à des situations plus complexes ?  Quels autres phénomènes peuvent être modélisés par des équations différentielles similaires ? 5.

Faites le lien avec d'autres parties du programme de mathématiques : Dérivation, intégration, fonctions exponentielles, suites géométriques (pour une approche discrète). Exemple de rédaction pour l'introduction "Le refroidissement d'un corps est un phénomène physique que nous observons quotidiennement, qu'il s'agisse d'une tasse de café qui refroidit ou d'un objet métallique qui revient à température ambiante après avoir été chauffé.

Derrière ce phénomène apparemment simple se cache une modélisation mathématique élégante qui permet non seulement de comprendre le processus, mais aussi de prédire avec précision l'évolution de la température au cours du temps.

Je me suis donc interrogé(e) : comment les mathématiques peuvent-elles aider à modéliser le refroidissement d'un corps ? Pour répondre à cette question, j'examinerai d'abord comment traduire ce phénomène physique en équation différentielle, puis j'analyserai la solution mathématique obtenue et son interprétation, avant de présenter des applications concrètes et des extensions possibles de ce modèle." Ce sujet est excellent pour la spécialité mathématiques car il vous permet de montrer comment les outils mathématiques (équations différentielles, fonctions exponentielles, analyse) peuvent être appliqués à un problème concret, tout en restant dans le cadre du programme.

N'hésitez pas si vous avez besoin d'aide pour développer une partie spécifique de votre présentation ! Développement du cas concret Voici un développement détaillé du.... »