Grand oral mathématiques architecture

« Grand oral Maths – Physique Introduction : Lorsque vous admirez l’architecture audacieuse du centre culturel Heydar ou les courbes harmonieuses du restaurant manantiales à Mexico, savez-vous que derrières ces prouesses architecturales se cachent un tas de notions scientifiques.

A l’heure des défis environnementaux tous les bâtiments doivent être à la fois esthétiques et durables, ainsi les sciences sont des alliés indispensables de l’architecture moderne.

On peut donc se demander : Comment les mathématiques et la physique sont-elles utilisées dans la conception architecturale d’un bâtiment durable : la gare de Liège Guillemins ? D’abord nous verrons la modélisation mathématique pour concevoir et le calcul de surface à l’aide des intégrales , puis j’étudierais si l’effet photovoltaïque peut permettre de rendre la gare complètement autonome. Partie 1 : Les mathématiques sont omniprésentes en architecture. Fonctions polynomiales, exponentielles, logarithmiques, paraboles, hyperboles… toutes ces courbes se dessinent dans notre environnement sous des formes harmonieuses.

Des structures plus complexes comme l’hyperboloïde et les conoïdes sinusoïdaux notamment visibles à la Sagrada Familia.

Ces formes mathématiques, bien que notre œil y soit insensible, structurent notre paysage architectural. ( ce paragraphe à voir si je le garde car potentiel question difficile ou trop long) Prenons l’exemple de la gare des Guillemins à Liège, imaginée par l’architecte espagnol Santiago Calatrava.

Inaugurée le 18 septembre 2009, après 8 ans de construction elle est aujourd’hui un symbole de la ville, considérée comme l'une des plus belles gares du monde, elle est surnommée la « cathédrale des Guillemins » pour sa taille et sa luminosité.

Construite en béton blanc, verre et acier, elle impressionne par son dôme de 200 mètres de long, 70 mètres de large et 40 mètres de haut, composé de plus de 30 000 m² de vitres et soutenu par une quarantaine d’arcs.

Celle-ci a couté plus de 300 millions d’euros, la structure est faite de 10 000 tonnes d’acier , ce qui est plus que la tour Eiffel et 67 000m3 de béton. Sa forme globale fait penser à une cubique d'Agnesi, ainsi nous allons modéliser cette gare à l’aide de notions mathématiques, afin de déterminer la surface en verre.

Si on prend une vue du ciel, on remarque que la gare est en quelque sorte un rectangle incurvé. Nous rappelons que la « sorcière d’Agnesi » est généralement définie par la fonction y(x)= a3 a 2+ x 2 ou a>0 La façade est assimilée au bord supérieur d’un « rectangle incurvé » dont la « longueur » est la longueur du courbe sur [b,b] et dont la hauteur (verticale) est donnée par y(0)=a Donc il faut remplacer a par la hauteur de la gare , sur le plan on trouve que a= 35, »5 m cela nous donnera donc l’équation de la courbe du rectangle.

Ensuite on primitive cette fonction puis on fait une intégrale sur [-100,100] afin de trouver la longueur, Maintenant on sait que pour calculer la longueur d’une courbe a l’aide d’une intégrale on utilise cette formule : L= b ∫ √ 1+ y ( x )' 2 dx (explication brouillon) −b 1 −u ' maintenant on calcule le dérivé y(x) : on reconnait ( u )' = 2 u 3 y(x)’=−a 2x −2 a3 x 2 2 2= (a + x ) ( a2 + x 2 )2 4 a6 x2 donc ( y ( x )' ) = 2 2 4 (a +x ) 2 maintenant on remplace par a= 35,35m 35,353 y(x)= 2 2 35,35 + x en modélisant sur la calculatrice cela semble cohérent 6 2 4∗35,35 x il vient : ( y ( x )' ) = 2 2 4 (35,35 + x ) 2 100 √ 4∗35,356 x 2 dx Donc L= ∫ 1+ 2 2 4 −100 (35,35 + x ) Cependant il est très difficile de trouver une primitive de cela, ainsi pour déterminer la longueur de l’arc on va utiliser un programme python.

Après les calculs du programme, on trouve que L= 213m.

Ainsi la longueur de l’arc de la gare mesure 213m ce qui est cohérent a la longueur de la gare de 200m par rapport au sol. Ainsi la surface de la toiture de la gare vaut : A= L x l  213 x 70= 14 910 m2 Cela est cohérent, sachant que la surface totale de la gare avec les autres parties en verre a une superficie de 30 000 m2 (question potentiel en deuxième partie de l’épreuve). Cependant on peut trouver une primitive de la fonction y(x)= a3 à l’aide la fonction arctan(x) afin de calculer l’air sous la a 2+ x 2 courbe à l’aide d’une intégrale.

Cela serait donc utile si on souhaite déterminer la surface des parois de la gare si elle était fermée également sur les côtés.

On peut donc trouver une primitive à l’aide la formule de composition (v0u)’=u’x(v’0u) x 2 celle-ci serait : Y(x)= a arctan( a ) En calculant l’intégrale entre [-100 ;100] on trouve une superficie de 3076m2, cela signifie que chacune des surfaces latérales mesure plus de 3000m2 .

Cela représenterai donc un coup supplémentaire énorme si des travaux sont envisager pour fermer la gare complètement et donc l’isoler car jusqu’à présent la gare est ouverte a tous vents et donc protège mal les voyageurs du froid. (question potentiel en deuxième partie de l’épreuve). Partie 2 : Face à l’urgence climatique et à la nécessité de réduire l’empreinte environnementale des bâtiments, la construction passive s’impose comme une solution innovante et efficace. L’impact environnemental du bâtiment est colossal.

Il représente 30 % de la.... »