Grand oral du bac : Mathématiques LES STATISTIQUES

« Mathématiques LES 1 STATISTIQUES 1 Les statistiques ont ceci de particulier qu'elles manient des instruments abstraits -chiffres, formules -pour tenter d'interpréter des phénomènes qui ont, le plus souvent, trait au domaine du vivant.

L es statistiques constituent une branche des mathématiques qui s'intéresse à la collecte, au traitement et à l'analyse des données.

Le terme «statistiques» désigne aussi les observa­ tions réalisées sur un groupe d'individus ou d'entités dans des conditions précises.

Par exemple, on peut dénombrer les accidents de la route par an dans le monde.

Les statistiques sont réalisées en France par des ministères ou des organismes publics, tel l'INSEE (Institut national de la statistique et des études économiques).

Certaines sociétés privées effec­ tuent également des études de ce type, par exemple les sondages d'opinion.

Un peu d'histoire Au Ill' millénaire av.

J..C., les Babyloniens tenaient à jour, sous forme de tableaux gravés sur des tablettes d'argile, les récoltes et les marchandises vendues.

Les Égyptiens, vers 1700 av.

J..C., avaient évalué la population et ses richesses.

On trouve également des données chiffrées dans la Bible.

Sous l'Empire romain (de 27 av.

J..C.

à 476 apr.

J..C.), on vit apparaître des recensements à grande échelle, concernant la population, la superficie et les richesses de l'empire.

Au vm• siècle, un recensement des propriétés ecclésiastiques fut ordonné par Pépin le Bref (v.

714-768) puis Char­ lemagne (742-814).

Guillaume le Conquérant (1028-1087) consigna les données d'un recense­ ment de la population dans le Domesday Book (document du cadastre).

Dès le XVI' siècle, on recensait les naissances et les décès en Angleter­ re.

Maximilien Sully (1560-1641) et Jean-Baptiste Colbert (1619-1683), puis sous l'impulsion du maréchal de France Sébastien Vauban (1633-1707), différents relevés et inventaires furent réalisés en France.

C'est au xvn• siècle que furent introduites les premières bases scientifiques des statistiques.

Deux écoles furent fondées: l'école dite descrip­ tive, créée par l'Allemand Hermann Conring (1606-1681), fut, semble-t-il, à l'origine du terme "statistique»; la seconde école traita de pro­ blèmes tels que la relation entre le nombre de naissances masculines et celui des naissances féminines.

Puis l'astronome britannique Edmund Halley (1656-1742) établit une table de mortalité, qui sert encore de base aux actuaires des compa­ gnies d'assurance.

Au XIX" siècle, le mathématicien français Pierre Simon de Laplace (17 49-1827), dans sa Théorie an alytique des probabilités (1812), montra comment la théorie des probabilités pou­ vait être utilisée pour rendre compte de certains phénomènes naturels complexes.

Champs d'application et méthodologie Les statistiques permettent d'établir un lien entre les données puis d'analyser ces dernières.

Cette démarche est utilisée dans de multiples domaines: astronomie, économie, politique, bicr logie (biométrie, génétique, médecine), sciences physiques (théorie cinétique des gaz, mécanique statistique), sciences sociales, industrie (contrôle de fabrication) ...

Le statisticien non seulement recueille les données et les présente sous forme de tableau, mais interprète également ces infor­ mations pour pouvoir les exploiter.

Quel que soit le domaine d'application, il procède en plusieurs étapes.

Tout d'abord, il effectue une description du phénomène considéré (statistique descrip­ tive), puis cherche à modéliser le phénomène par une loi statistique.

Enfin, il interprète les don­ nées recueillies et peut parfois effectuer des pré­ visions.

Aujourd'hui, le statisticien bénéficie de deux outils puissants: les ordinateurs et la théorie des probabilités.

La statistique descriptive En statistiques, le terme population désigne un ensemble défini d'entités de même nature, par exemple les élèves d'une classe ou les femmes de 25 ans.

Avant toute chose, le statisticien doit définir avec une extrême rigueur sa population d'étude et les conditions dans lesquelles il effec­ tue ses obser vations ou mesures.

Il peut travailler sur un ensemble de données chiffrées, appelées variables quantitatives: poids, taille ...

Il peut éga­ lement exploiter des données telles que le sexe ou les couleurs; il s'agit de variables qualitatives, c'est-à-dire non mesurables.

Souvent les observa­ tions sont réalisées sur un échantillon, car la population totale considérée est parfois trop importante.

Cependant, le problème consiste à réaliser l'étude sur un échantillon représentatif de la population.

Plus la taille de cet échantillon sera grande, plus les résultats extrapolés à la population totale auront de chance d'être exacts.

La démographie p.

1081 La génétique p.

1621 L'informatique p.

1989 Les mathématiques p.

2467 La météorologie p.

2545 Les probabilités p.

3387 ! À l'époque pharaonique, te recensement a du bétail était vital pour l'économie.

Cet exercice comptable permettait de fixer te montant des impôts et de projeter les besoins pour l'avenir.

La présentation des données Considérons les notes obtenues à un examen de mathématiques par un groupe déterminé de 24 élèves.

Il s'agit ici d'étudier la répartition des notes dans le groupe d'élèves.

On peut tout d'abord classer les notes de la plus petite à la plus grande: 44, 44, 45, 58, 58, 58, 62, 62, 67, 72, 72, 81, 81, 81, 81, 84, 84, 88, 95, 95, 95, 95, 100, 100.

Ainsi, on sait immédiatement que les notes s'échelonnent de 44 à 100.

On appelle effectif d'une note le nombre d'élèves ayant obtenu cette note.

La fréquence d'une note est le rapport de son effectif sur l'effectif total (ici 24); la fréquen­ ce cumulée d'une note est la somme de sa fré­ quence et des .fréquences des notes inférieures.

Ici, la variable considérée (note) est discontinue, c'est-à-dire qu'elle ne prerid que des valeurs dis­ crètes (isolées et bien déterminées).

Les données recueillies et les fréquences qui en découlent sont présentées sous forme de tableau, de façon Note Effectif Fréquence Fréquence cumulée X; n; � 44 2 0,083 0,083 45 1 0,042 0,125 58 3 0,125 0,250 62 2 0,083 0,333 67 1 0,042 0,375 72 2 0,083 0,458 81 4 0,167 0,625 84 2 0,083 0,708 88 1 0,042 0,750 95 4 0,167 0,917 100 2 0,083 1,000 Total 24 1,000. »